Окружность касается угла BRC в точках В и С. На касательных RB и RC отметили точки S и Т соответственно, а на окружности - точку А так, что ∠ABS = 62°, ∠ACT = 53°. Найдите градусную меру угла BRC.

Решение:

• Угол ABS является углом между касательной SB и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB, заключенной между ними. ∠ABS = 62°, следовательно, дуга AB = 2 * 62° = 124°.
• Аналогично, угол ACT является углом между касательной TC и хордой AC, и он равен половине дуги AC. ∠ACT = 53°, следовательно, дуга AC = 2 * 53° = 106°.
• Теперь рассмотрим треугольник ABC, вписанный в окружность. Угол BAC опирается на дугу BC. Дуга BC = 360° - (дуга AB + дуга AC) = 360° - (124° + 106°) = 360° - 230° = 130°. Значит, ∠BAC = 1/2 * 130° = 65°.
• В четырехугольнике ABTC сумма углов равна 360°. Углы ABT и ACT прямые (90°), так как касательные перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания. Следовательно, ∠BAC + ∠BTC = 180°. Значит, ∠BTC = 180° - ∠BAC = 180° - 65° = 115°.
• В треугольнике BRC углы BRC, RBC и RCB в сумме дают 180°. Углы RBC и RCB дополняют углы ABS и ACT до 90° соответственно, так как касательные перпендикулярны радиусам. ∠RBC = 90° - ∠ABS = 90° - 62° = 28°, ∠RCB = 90° - ∠ACT = 90° - 53° = 37°. Значит, ∠BRC = 180° - (∠RBC + ∠RCB) = 180° - (28° + 37°) = 180° - 65° = 115°.

Ответ: ∠BRC = 65°