Окружность, касающаяся сторон угла в точках А и В, вписана в угол С, который имеет величину 63°. Точка О представляет собой центр этой окружности. Какова величина угла АОВ?

Давай решим эту задачу шаг за шагом.

1. Угол ACB равен 63° (дано).

2. OA и OB - радиусы, проведенные в точки касания A и B. Следовательно, OA перпендикулярен AC, а OB перпендикулярен BC. Значит, углы OAC и OBC равны 90°.

3. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

4. Запишем уравнение для суммы углов четырехугольника OACB: $$ \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC + \angle AOB = 360^{\circ} $$

5. Подставим известные значения: $$ 90^{\circ} + 63^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} $$

6. Упростим уравнение: $$ 243^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} $$

7. Найдем угол AOB: $$ \angle AOB = 360^{\circ} - 243^{\circ} = 117^{\circ} $$

Ответ: 117