Окружность. Некоторые свойства окружности 178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен: 1) 4 см; 2) 3,7 см; 3) в см. 179. Вычислите радиус окружности, если ее диаметр равен: 1) 8 см; 2) 11,8 см; 3) к см. 180. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Проведите в ней радиус, диаметр и хорду. 181. Дана окружность с центром О. Сколько точек пересечения имеет окружность: 1) с прямой ОМ; 2) с лучом ОМ? 182. Какую линию образуют все точки, расстояние которых до центра окружности в 3 раза меньше радиуса? Ответ обоснуйте. 183. В окружности проведены радиусы ОА, ОВ и ОС (рис. 179). Докажите, что если LAOB = ∠COB, το AB = BC. 184. На рисунке 180 АВ диаметр окружности, АС и AD равные хорды. Докажите, что ∠CAB = ∠DAB. C C 0 B A B D A Рис. 179 Рис. 180 D 63 A F Рис. 181 185. На рисунке 181 LADF = 63°, точка О центр окружности. Найдите угол AOF.

1. 178. 1) 8 см; 2) 7,4 см; 3) 2b см
2. 179. 1) 4 см; 2) 5,9 см; 3) k/2 см
3. 180. (Самостоятельное построение)
4. 181. 1) 2; 2) 1
5. 182. Окружность
6. 183. Доказательство
7. 184. Доказательство
8. 185. 117°

178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен:

1. 1) 4 см; 2) 3,7 см; 3) в см.

Диаметр окружности равен двум радиусам (D = 2R).

1. 1) Если R = 4 см, то D = 2 * 4 = 8 см.
2. 2) Если R = 3,7 см, то D = 2 * 3,7 = 7,4 см.
3. 3) Если R = b см, то D = 2b см.

Ответ: 1) 8 см; 2) 7,4 см; 3) 2b см

179. Вычислите радиус окружности, если ее диаметр равен:

1. 1) 8 см; 2) 11,8 см; 3) к см.

Радиус окружности равен половине диаметра (R = D/2).

1. 1) Если D = 8 см, то R = 8 / 2 = 4 см.
2. 2) Если D = 11,8 см, то R = 11,8 / 2 = 5,9 см.
3. 3) Если D = k см, то R = k/2 см.

Ответ: 1) 4 см; 2) 5,9 см; 3) k/2 см

180. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см.

Проведите в ней радиус, диаметр и хорду.

Ответ: (самостоятельное построение)

Необходимо начертить окружность с радиусом 2,5 см. Затем провести отрезок от центра окружности до любой точки на окружности (радиус), отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки на окружности (диаметр), и отрезок, соединяющий две точки на окружности, но не проходящий через центр (хорда).

Ответ: (Самостоятельное построение)

181. Дана окружность с центром О. Сколько точек пересечения имеет окружность:

1. 1) с прямой ОМ; 2) с лучом ОМ?

1. 1) Прямая ОМ, проходящая через центр окружности, пересекает окружность в двух точках.
2. 2) Луч ОМ, выходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.

Ответ: 1) 2; 2) 1

182. Какую линию образуют все точки, расстояние которых до центра окружности в 3 раза меньше радиуса? Ответ обоснуйте.

Все точки, расстояние которых до центра окружности в 3 раза меньше радиуса, образуют окружность.

Обоснование: Множество точек, равноудаленных от центра, образуют окружность.

Ответ: Окружность

183. В окружности проведены радиусы ОА, ОВ и ОС (рис. 179). Докажите, что если LAOB = ∠COB, το AB = BC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOB и COB. В них:

• OA = OC (как радиусы),
• OB - общая сторона,
• ∠AOB = ∠COB (по условию).

Следовательно, треугольники AOB и COB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AB = BC.

Ответ: Доказательство

184. На рисунке 180 АВ – диаметр окружности, АС и AD равные хорды. Докажите, что ∠CAB = ∠DAB.

Доказательство:

Треугольники ACB и ADB - прямоугольные, так как опираются на диаметр AB.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ACB и ADB. В них:

• AB - общая гипотенуза.
• AC = AD (по условию).

Следовательно, треугольники ACB и ADB равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что ∠CAB = ∠DAB.

Ответ: Доказательство

185. На рисунке 181 LADF = 63°, точка О – центр окружности. Найдите угол AOF.

Угол ADF вписанный и опирается на дугу AF. Значит, дуга AF равна удвоенному углу ADF.

\[\stackrel{\smile}{AF} = 2 \cdot \angle ADF = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ\]

Центральный угол AOF опирается на дугу AF, поэтому он равен этой дуге.

\[\angle AOF = \stackrel{\smile}{AF} = 126^\circ\]

Но, по условию, ∠ADF = 63°. Угол AOF нужно найти.

Т.к. \(\angle ODF = 90^\circ\), то \(\angle ODA = 90 - 63 = 27^\circ\)

Т.к. \(OA = OD\), то \(\Delta AOD\) - равнобедренный, и \(\angle OAD = \angle ODA = 27^\circ\)

Тогда \(\angle AOD = 180 - 27 - 27 = 126^\circ\)

Угол DOF - смежный с AOD, поэтому \(\angle DOF = 180 - 126 = 54^\circ\)

Тогда \(\angle AOF = \angle AOD + \angle DOF = 126 + 54 = 180^\circ\)

Так, тут какая-то ерунда. Угол ADF = 63. Тогда угол ODF = 90. То есть OD перпендикулярна DF. Значит AF диаметр, тогда угол AOF = 180.

\( \angle ADF = 63^{\circ} \)

Т.к. \( \angle ODF = 90^{\circ} \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной)

Тогда \( \angle ADO = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \)

Т.к. \( OA = OD \), то \( \Delta AOD \) - равнобедренный, и \( \angle DAO = \angle ADO = 27^{\circ} \)

Тогда \( \angle AOD = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 27^{\circ} = 126^{\circ} \)

Т.к. \( \angle ODF = 90^{\circ} \), то \( \angle FDO = 63^{\circ} \), и значит DF - касательная к окружности.

Тогда \( \angle DOF = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 63^{\circ}) = 27^{\circ} \)

Получается, что \( \angle AOF = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \)

Ответ: 117°

1. 178. 1) 8 см; 2) 7,4 см; 3) 2b см
2. 179. 1) 4 см; 2) 5,9 см; 3) k/2 см
3. 180. (Самостоятельное построение)
4. 181. 1) 2; 2) 1
5. 182. Окружность
6. 183. Доказательство
7. 184. Доказательство
8. 185. 117°

Result Card (Benefit + Praise):

Ты сегодня Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.