Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 17, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АС.

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о подобных треугольниках и свойствах окружности.

1. Так как окружность проходит через точки B, C, K и P, четырехугольник BCPK является вписанным в окружность.
2. По свойству вписанного четырехугольника, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Значит, углы ∠BKP и ∠BCP дополняют друг друга до 180 градусов.
3. ∠BKP и ∠AKP - смежные углы, поэтому ∠AKP + ∠BKP = 180 градусов. Следовательно, ∠AKP = ∠BCP. Аналогично можно доказать, что ∠AKP = ∠ABC.
4. Из равенства углов ∠AKP = ∠ACB и ∠AKP = ∠ABC следует подобие треугольников ΔAKP и ΔABC по двум углам.
5. Так как треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}$$
6. Из условия задачи известно, что BC в 2 раза меньше AC, то есть $$BC = \frac{1}{2}AC$$.
7. Пусть AP = x, тогда AC = AP + PC. Выразим AC через AP: $$AC = x + PC$$
8. Теперь воспользуемся подобием треугольников: $$\frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}$$
9. Подставим известные значения: $$\frac{17}{AB} = \frac{x}{AC} = \frac{KP}{\frac{1}{2}AC}$$
10. Выразим KP через x: $$KP = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{AC} \cdot AC = \frac{1}{2}x$$
11. Нам нужно найти длину KP, зная AK = 17 и соотношение BC и AC. Из подобия треугольников имеем: $$\frac{AK}{AB}=\frac{AP}{AC}$$
12. По условию задачи, ВС в 2 раза меньше АС, значит, \( BC = \frac{1}{2}AC \). Следовательно, отношение сторон в подобных треугольниках равно \( \frac{1}{2} \).
13. Значит, коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \), и \( \frac{KP}{BC} = \frac{1}{2} \). Отсюда следует, что \( KP = \frac{1}{2} BC \).
14. Так как \( BC = \frac{1}{2}AC \), то \( KP = \frac{1}{4}AC \).
15. Далее, поскольку треугольники AKR и ABC подобны, то $$\frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC} = k$$
16. Нам известно, что АК = 17. Из подобия треугольников АКР и АВС, имеем: $$\frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AB}$$
17. Так как ВС в 2 раза меньше АС: $$\frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$$, а АК = 17, то можно заключить, что $$ KP = \frac{1}{2}AK = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8.5$$

Ответ: 8.5