№4. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 18, а сторона ВС в 1,2 раза меньше стороны АВ.

Для решения этой задачи нужно воспользоваться свойством вписанного четырёхугольника и теоремой о подобных треугольниках.

1. Так как четырёхугольник KBCP вписан в окружность, то ∠AKP = ∠ABC (угол AKP внешний для четырёхугольника KBCP).
2. ∠A общий для треугольников AKP и ABC.
3. Следовательно, треугольники AKP и ABC подобны по двум углам (∠AKP = ∠ABC, ∠A – общий).
4. Из подобия треугольников следует пропорция: $$ \frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} $$.
5. По условию, $$ AP = 18 $$, $$ BC = \frac{AB}{1.2} $$. Подставим эти значения в пропорцию: $$ \frac{KP}{\frac{AB}{1.2}} = \frac{18}{AB} $$.
6. Выразим KP: $$ KP = \frac{18}{AB} \cdot \frac{AB}{1.2} = \frac{18}{1.2} = 15 $$.

Ответ: 15