Окружность проходит через вершину В треугольника АВС, касается его стороны АС в точке L и пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите градусную меру угла ВМN, если отрезок BL - биссектриса угла ABC, ∠ABL = 32° и ∠BСА = 44°.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Так как BL – биссектриса угла ABC, то \(\angle ABL = \angle LBC = 32^\circ\).
• Следовательно, \(\angle ABC = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ\).
• В треугольнике ABC, зная углы \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\), можно найти угол \(\angle BAC\):
  \(\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA = 180^\circ - 64^\circ - 44^\circ = 72^\circ\).
• Угол \(\angle ABL\) равен углу \(\angle ANL\) как угол между касательной и хордой, опирающийся на дугу BL, и вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Значит, \(\angle ANL = 32^\circ\).
• Углы \(\angle ANL\) и \(\angle AML\) опираются на одну дугу AL, следовательно, они равны. Значит, \(\angle AML = 44^\circ\).
• В треугольнике AMN угол \(\angle AMN = 180^\circ - \angle AML = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ\).
• Тогда угол \(\angle BMN = 180^\circ - \angle AMN = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ\).

Ответ: ∠BMN = 44°