Окружность, проходящая через три вершины параллелограмма, делит его диагональ на отрезки равные 3 и 5. Чему равна вторая диагональ параллелограмма?

Обозначим параллелограмм ABCD, где AC – диагональ, поделенная окружностью на отрезки 3 и 5.

Следовательно, AC = 3 + 5 = 8.

Пусть BD – вторая диагональ параллелограмма.

По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Тогда AO = OC = AC / 2 = 8 / 2 = 4.

Так как окружность делит диагональ AC на отрезки 3 и 5, и AO = 4, то точка O находится между этими отрезками.

Один из отрезков равен 3, следовательно, другой отрезок от точки A до точки O равен 4, значит, точка O отстоит от точки A на расстоянии 4.

Тогда OB = OD = x.

Рассмотрим треугольник AOB.

По теореме косинусов:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos(\angle AOB)$$

Поскольку вокруг параллелограмма можно описать окружность, то углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) прямые, и ABCD — прямоугольник.

Тогда диагонали прямоугольника равны.

Следовательно, вторая диагональ BD = AC = 8.

Ответ: 8