Окружность прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой BC описана окружность. Известно, что BC = AC. Биссектриса треугольника, проведенная к стороне AC, пересекает окружность в точке E. Найдите градусную меру дуги EAB.

Решение:

1. По условию, \( \triangle ABC \) — прямоугольный, а \( BC \) — гипотенуза. Значит, \( \angle BAC = 90^{\circ} \).
2. Окружность описана около прямоугольного треугольника, и её центр находится в середине гипотенузы \( BC \).
3. Также по условию \( BC = AC \). В прямоугольном треугольнике \( \angle ABC = \angle ACB \). Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), то \( \angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ} \).
4. \( AE \) — биссектриса \( \angle BAC \). Следовательно, \( \angle BAE = \angle CAE = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
5. Угол \( \angle BCE \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BE \). Дуга \( BE \) равна удвоенному углу \( \angle BAE \): \( \overset{\frown}{BE} = 2 \cdot \angle BAE = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
6. Угол \( \angle ABE \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AE \). Дуга \( AE \) равна удвоенному углу \( \angle ABE \). Угол \( \angle ABC = 45^{\circ} \), значит \( \angle ABE = 45^{\circ} \). Дуга \( AE \) равна \( 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
7. Градусная мера дуги \( EAB \) равна сумме градусных мер дуг \( EA \) и \( AB \). \( \overset{\frown}{EA} = 90^{\circ} \). \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE} + \overset{\frown}{EB} \).
8. Градусная мера дуги \( EAB \) равна сумме дуг \( EA \) и \( AB \). Так как \( \angle ACB = 45^{\circ} \), то дуга \( AB \) равна \( 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
9. Градусная мера дуги \( EAB = \overset{\frown}{EA} + \overset{\frown}{AB} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
10. Альтернативный подход: Угол \( \angle AEB \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( BC \). Следовательно, \( \angle AEB = 90^{\circ} \). Дуга \( AB \) равна \( 2 \times \angle ACB \u0002 \) = \( 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ} \). Дуга \( EAB \) = дуга \( EA \) + дуга \( AB \). Так как \( \angle CAE = 45^{\circ} \) (биссектриса), то дуга \( CE \) = \( 2 \times \angle CAE \u0002 \u0002 \) = \( 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ} \). \( \overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{CE} = 90^{\circ} \) (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
11. Дуга \( EAB = \overset{\frown}{EA} + \overset{\frown}{AB} \). \( \overset{\frown}{AB} \) равна \( 2 \times \angle ACB \u0002 \) = \( 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ} \).
12. Дуга \( EAB \) = \( 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: 180^{\(\circ\)}.