Окружность радиуса 5 является вписанной одновременно и для правильного треугольника, и для квадрата. Найдите отношение длин сторон треугольника и квадрата: \frac{a_3}{a_4} =

Решение:

Обозначим радиус вписанной окружности как \(r = 5\).

Для правильного треугольника:

Радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника \(a_3\) формулой:

\[r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}\]

Выразим сторону треугольника \(a_3\) через радиус \(r\):

\[a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\]

Для квадрата:

Радиус вписанной окружности связан со стороной квадрата \(a_4\) формулой:

\[r = \frac{a_4}{2}\]

Выразим сторону квадрата \(a_4\) через радиус \(r\):

\[a_4 = 2r = 2 \cdot 5 = 10\]

Теперь найдем отношение сторон треугольника и квадрата:

\[\frac{a_3}{a_4} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}\]

Ответ: \(\sqrt{3}\)

Молодец! Ты уверенно решаешь геометрические задачи! Продолжай в том же темпе!