Окружность радиуса r с центром в точке О вписана в угол величиной α с вершиной в точке R. Точки M и N этой окружности принадлежат сторонам угла. Обозначены длины двух отрезков: RO = t, NR = k. Сопоставьте возможным значениям величины α по одному условию, связывающему обозначенные длины отрезков.

Геометрическая задача

В данной задаче нам нужно сопоставить величину угла \(\alpha\) с одним из предложенных равенств, связывающих отрезки \(t\) и \(k\).

Рассмотрим треугольник \(ORN\). Так как окружность вписана в угол \(\alpha\) и касается стороны угла в точке \(N\), то отрезок \(ON\) является радиусом \(r\) и перпендикулярен стороне угла в точке касания. Следовательно, \(\triangle ORN\) — это прямоугольный треугольник с катетами \(ON = r\) и \(NR = k\), и гипотенузой \(OR = t\).

В этом треугольнике угол \(\angle ORN\) равен \(\alpha / 2\).

Из свойств прямоугольного треугольника имеем:

• \(\sin(\alpha / 2) = \frac{ON}{OR} = \frac{r}{t}\)
• \(\cos(\alpha / 2) = \frac{NR}{OR} = \frac{k}{t}\)
• \(\tan(\alpha / 2) = \frac{ON}{NR} = \frac{r}{k}\)

Теперь проанализируем предложенные варианты угла \(\alpha\):

1. \(\alpha = 60^{\circ}\)

В этом случае \(\alpha / 2 = 30^{\circ}\). Мы знаем, что \(\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Используя формулу \(\cos(\alpha / 2) = \frac{k}{t}\), получаем:

\(\frac{k}{t} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(t = \frac{2}{\sqrt{3}} k\). Это не соответствует ни одному из предложенных равенств.

Рассмотрим другое соотношение. Если \(\alpha / 2 = 30^{\circ}\), то \(\tan(\alpha / 2) = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Используя \(\tan(\alpha / 2) = \frac{r}{k}\), получаем \(\frac{r}{k} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), что также не дает простых соотношений между \(t\) и \(k\).

Давайте посмотрим на соотношение \(k=t\) и \(k=2r\). Если \(k=t\), то \(\cos(\alpha / 2) = \frac{t}{t} = 1\), что означает \(\alpha / 2 = 0^{\circ}\), т.е. \(\alpha = 0^{\circ}\), что не соответствует \(60^{\circ}\).

Если \(t = k + r\), то \(\cos(\alpha/2) = k/t = k/(k+r)\). Если \(\alpha = 60^{\circ}\), \(\alpha/2 = 30^{\circ}\) и \(\cos(30^{\circ}) = \sqrt{3}/2\). Тогда \(\sqrt{3}/2 = k/(k+r)\) => \(\sqrt{3}k + \sqrt{3}r = 2k\) => \(\sqrt{3}r = (2- \sqrt{3})k\), что тоже не упрощает задачу.

Рассмотрим вариант, когда \(t=2k\). Тогда \(\cos(\alpha/2) = k/(2k) = 1/2\). Это означает, что \(\alpha / 2 = 60^{\circ}\), и следовательно, \(\alpha = 120^{\circ}\). Это не соответствует \(60^{\circ}\).

Рассмотрим вариант \(k=2r\). Если \(\alpha = 60^{\circ}\), то \(\tan(30^{\circ}) = r/k = r/(2r) = 1/2\). Однако, \(\tan(30^{\circ}) = 1/\sqrt{3}\). Значит, \(\alpha = 60^{\circ}\) не соответствует \(k=2r\).

2. \(\alpha = 90^{\circ}\)

В этом случае \(\alpha / 2 = 45^{\circ}\).

Мы знаем, что \(\tan(45^{\circ}) = 1\). Используя формулу \(\tan(\alpha / 2) = \frac{r}{k}\), получаем:

\(\frac{r}{k} = 1\) => \(r = k\). Это не одно из предложенных равенств.

Также \(\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Используя \(\cos(\alpha / 2) = \frac{k}{t}\), получаем:

\(\frac{k}{t} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) => \(t = \frac{2}{\sqrt{2}} k = \sqrt{2} k\). Это также не соответствует предложенным вариантам.

3. \(\alpha = 120^{\circ}\)

В этом случае \(\alpha / 2 = 60^{\circ}\).

Мы знаем, что \(\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\). Используя формулу \(\cos(\alpha / 2) = \frac{k}{t}\), получаем:

\(\frac{k}{t} = \frac{1}{2}\) => \(t = 2k\).

Это равенство присутствует среди предложенных вариантов.

Проверим другие соотношения для \(\alpha = 120^{\circ}\).

\(\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}\). Используя \(\tan(\alpha / 2) = \frac{r}{k}\), получаем \(\frac{r}{k} = \sqrt{3}\) => \(r = \sqrt{3} k\).

Если \(t=2k\), то \(\sin(\alpha/2) = r/t = r/(2k)\). \(\sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2\). Следовательно, \(\sqrt{3}/2 = r/(2k)\) => \(r = \sqrt{3} k\), что согласуется.

Сопоставление:

Величина \(\alpha\)	Выполненное равенство
60°	Перетащите сюда правильный ответ
90°	Перетащите сюда правильный ответ
120°	t = 2k

Остальные соотношения можно проверить, исходя из того, что \(\triangle ORN\) — прямоугольный.

Если \(\alpha = 60^{\circ}\), то \(\alpha/2 = 30^{\circ}\). \(\cos(30^{\circ}) = k/t = \sqrt{3}/2\). \(t = \frac{2k}{\sqrt{3}}\). \(\tan(30^{\circ}) = r/k = 1/\sqrt{3}\) => \(k = r \sqrt{3}\).

Если \(\alpha = 90^{\circ}\), то \(\alpha/2 = 45^{\circ}\). \(\cos(45^{\circ}) = k/t = \sqrt{2}/2\). \(t = \sqrt{2}k\). \(\tan(45^{\circ}) = r/k = 1\) => \(r = k\). Если \(r=k\), то \(t = \sqrt{2}r\) или \(t = \sqrt{2}k\).

Учитывая предложенные варианты равенств, единственное, которое однозначно определяется углом, это \(t=2k\) при \(\alpha = 120^{\circ}\).