Окружность с радиусом 12 см разогнута в дугу, центральный угол которой равен 135°. Найди радиус этой дуги и длину хорды, стягиваемой этой дугой. Ответ: R = 4,5 ; 21,62

Для решения задачи необходимо вспомнить формулу длины дуги окружности и формулу длины хорды, стягивающей дугу.

Длина дуги окружности:

$$l = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$$, где R - радиус окружности, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

В нашем случае R = 12 см, \(\alpha\) = 135°.

1) Найдем длину дуги:

$$l = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 135}{180} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 3}{4} = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$$

Подставим значение \(\pi \approx 3,14\)

$$l \approx 9 \cdot 3,14 = 28,26 \text{ см}$$

Длина хорды, стягивающей дугу:

$$L = 2R \sin{\frac{\alpha}{2}}$$, где R - радиус окружности, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

В нашем случае R = 12 см, \(\alpha\) = 135°.

2) Найдем длину хорды:

$$L = 2 \cdot 12 \cdot \sin{\frac{135^{\circ}}{2}} = 24 \cdot \sin{67,5^{\circ}}$$

Синус 67,5° можно найти, используя формулу половинного угла:

$$\sin{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\alpha}}{2}}$$

Тогда:

$$\sin{67,5^{\circ}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{135^{\circ}}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$

Подставим это значение в формулу длины хорды:

$$L = 24 \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = 12 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

Приближенно \(\sqrt{2} \approx 1,414\), тогда

$$L \approx 12 \sqrt{2 + 1,414} = 12 \sqrt{3,414} \approx 12 \cdot 1,848 \approx 22,176 \text{ см}$$

Ответ: Радиус дуги равен радиусу окружности, то есть 12 см. Длина дуги примерно 28,26 см, а длина хорды примерно 22,176 см.

Заполним пропуски с учетом полученных результатов.

Ответ: R = 12 ; 28,26; 22,18

Ответ: R = 12 ; 28,26; 22,18