Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB = 4\), \(AC = 16\).

Пусть \(O\) - центр окружности, лежащий на стороне \(AC\). Так как окружность касается прямой \(AB\) в точке \(B\), то \(OB \perp AB\). Рассмотрим треугольник \(ABO\), в котором \(\angle ABO = 90^\circ\). Пусть \(OC = OB = R\), где \(R\) - радиус окружности. Тогда \(AO = AC - OC = 16 - R\).

Применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABO\):

\(AB^2 + OB^2 = AO^2\) \(4^2 + R^2 = (16 - R)^2\) \(16 + R^2 = 256 - 32R + R^2\) \(32R = 256 - 16\) \(32R = 240\) \(R = \frac{240}{32} = \frac{120}{16} = \frac{60}{8} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7.5\)

Диаметр окружности \(D = 2R = 2 \cdot 7.5 = 15\).

Ответ: 15