23. Окружность с центром на стороне МК треугольника MNK проходит через вершину К и касается прямой MN в точке №. Найди МК, если диаметр окружности равен 10, a MN = 12.

Решение

Смотри, тут всё просто: у нас есть окружность, которая касается прямой MN в точке N и проходит через точку K на стороне MK. Давай воспользуемся теоремой о касательной и секущей, чтобы найти MK.

Логика такая:

1. Вспоминаем теорему о касательной и секущей: Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В нашем случае это означает, что MN² = MK ⋅ MP, где P - точка пересечения секущей MK с окружностью.
2. Определяем, что такое MP: Так как диаметр окружности равен 10, то радиус равен 5. Если центр окружности лежит на MK, то MP - это диаметр, и MP = 10.
3. Подставляем известные значения: Мы знаем, что MN = 12, значит MN² = 12² = 144.
4. Составляем уравнение: 144 = MK ⋅ (MK - PK), где PK = диаметр = 10.
5. Решаем уравнение: 144 = MK ⋅ (MK - 10)

Пусть MK = x, тогда уравнение будет выглядеть так:

\[ 144 = x(x - 10) \] \[ x^2 - 10x - 144 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 100 + 576 = 676 \] \[ x_1 = \frac{10 + \sqrt{676}}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] \[ x_2 = \frac{10 - \sqrt{676}}{2} = \frac{10 - 26}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: MK = 18

Проверка за 10 секунд: MN² = MK * (MK - d), где d - диаметр. 12² = 18 * (18 - 10) = 18 * 8 = 144. Верно!