2. Окружность с центром О, АВ и АС - касательные. Найди неизвестные стороны и углы :

Первый рисунок

• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°.

Следовательно, в четырехугольнике, образованном точками касания, центром окружности и вершиной A, два угла по 90°.

Сумма двух других углов (\(\angle AOB\) и \(\angle B\)) равна 360° - 90° - 90° = 180°.

Тогда, \(\angle AOB = 180° - 20° = 160°\)

Ответ: \(\angle AOB = 160°\)

Второй рисунок

• Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\). Угол \(\angle OCA = 90°\) (так как AC - касательная).

Значит, \(\angle OAC = 180° - 90° - 45° = 45°\)

Ответ: \(\angle OAC = 45°\)

Третий рисунок

• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
• Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABO\) (угол \(\angle OBA = 90°\), так как AB - касательная), катет BO (радиус окружности) противолежит углу в 30°.

Тогда гипотенуза AO = 14 см, а катет BO = 14 / 2 = 7 см.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ACO\) (угол \(\angle OBA = 90°\), так как BC - касательная), \(AO = 14 \), \(BO=7\).

И \(\angle AOB = 180 - 28 - 90 = 62°\)

Ответ: \(BO = 7 \) см, \(\angle AOB = 62°\)

Четвертый рисунок

• Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.
• Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Пусть касательные, проведенные из точки A, касаются окружности в точках B и C. Тогда AB = AC.

Периметр треугольника \(\triangle AOC\) равен \(P = AO + OC + AC\).

Так как \(P = 48\) см, \(OC = 12\) см и \(AC = AB = 16\) см, то \(AO = P - OC - AC = 48 - 12 - 16 = 20\) см.

Треугольник \(\triangle ABO\) - прямоугольный (угол \(\angle OBA = 90°\)). Тогда \(\angle BAO = \arccos(\frac{AB}{AO}) = \arccos(\frac{16}{20}) = \arccos(0.8) ≈ 36.87°\).

Треугольник \(\triangle ABC\) равнобедренный, значит углы при основании равны \(\angle BAC= 2 \cdot 36.87 = 73.74°\).

Ответ: \(AO = 20 \) см, \(\angle BAC = 73.74°\)

Пятый рисунок

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Рассмотрим треугольник \(\triangle DOE\). Угол \(\angle ODE = \angle OED = 51°\) (треугольник равнобедренный, углы при основании равны). Тогда \(\angle DOE = 180° - 51° - 51° = 78°\).

Ответ: \(\angle DOE = 78°\)