Окружность с центром O₁ касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB = 9, BC = 12, CD = 15, AD = 29. Докажи, что прямая O₁O₂ параллельна основаниям трапеции ABCD. Найди O₁O₂.

Пусть высота трапеции равна h. Поскольку обе окружности касаются параллельных оснований, расстояние между основаниями равно диаметру каждой окружности, а центры находятся посередине между основаниями.

Введём координаты: положим AD на прямую y = h, а BC — на прямую y = 0. Пусть A = (0, h), D = (29, h), B = (u, 0), C = (u + 12, 0).

Центр O₁ лежит на высоте y = h/2. Сторона AB соединяет точки с абсциссами 0 и u, поэтому её пересечение с прямой y = h/2 имеет абсциссу u/2. Так как O₁ равноудалён от оснований и касается AB, он лежит на параллельной AB прямой, отстоящей от AB на h/2; в частности, его абсцисса равна u/2.

Аналогично, O₂ находится на высоте y = h/2, а его абсцисса равна полусумме абсцисс концов CD: (u + 12 + 29)/2 = (u + 41)/2. Следовательно, центры имеют одинаковую ординату, поэтому O₁O₂ параллельна основаниям AD и BC.

Расстояние между центрами равно разности их абсцисс: O₁O₂ = (u + 41)/2 − u/2 = 41/2 = 20,5.

Ответ: O₁O₂ = 20,5.