12. Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Радиус окружности равен половине расстояния OA. Найдите величину угла A.

Решение: Центр вписанной в треугольник является точкой пересечения его биссектрис. Поэтому луч AO (проведите его) делит угол BAC пополам. Обозначим точку касания окружности со стороной AB буквой T и проведем радиус OT (проведите). По свойству касательной $$OT \perp AB$$. В прямоугольном треугольнике AOT катет OT равен половине гипотенузы AO (по условию). Следовательно, $$\angle OAT = 30^\circ$$, тогда $$\angle A = 2 \cdot \angle OAT = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$. Ответ: $$60^\circ$$