Окружность с центром С и радиусом 8 см вписана в треугольник КММ. Найдите расстояние от центра С до вершины М, если ∠MKN = 50° и ZMNK= 70°. Решение. Окружность, M B треугольник, касается его сторон, т. е. сторон его углов, следова- тельно, является точкой пересечения треуголь- c по- 50° K 709 N ника. Поэтому луч МС (проведите его) делит угол полам. Обозначим точку окружности со КМ буквой А и проведём радиус СА (проведите). По CA 1 LAMC = 0,54 В прямоугольном треугольнике МАС АС = = 0,5(180° - 50° = Значит, МС = касательной см (по условию), CA = (см).

Решение:

Окружность с центром С и радиусом 8 см вписана в треугольник КМN. Нам даны углы ∠MKN = 50° и ∠MNK = 70°. Найти нужно расстояние от центра С до вершины М.

1. Сначала найдём третий угол треугольника: ∠NMK = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°.
2. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках. Точка А — точка касания на стороне КМ. Радиус СА перпендикулярен стороне КМ, значит, ∠CAM = 90°.
3. Центр вписанной окружности (точка С) лежит на биссектрисах углов треугольника. Следовательно, луч МС делит угол ∠NMK пополам.
4. Угол ∠AMC = ∠NMK / 2 = 60° / 2 = 30°.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник МАС (угол ∠CAM = 90°).
6. Нам известен радиус вписанной окружности СА = 8 см (по условию).
7. Найдём расстояние от центра С до вершины М, используя тангенс угла ∠AMC:
   \( \tan(\angle AMC) = \frac{AC}{MC} \)
   \( \tan(30°) = \frac{8}{MC} \)
8. Выразим MC:
   \( MC = \frac{8}{\tan(30°)} \)
9. Так как \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) или \( \tan(30°) \approx 0.577 \), то
   \( MC = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \) см.
   Или приближенно:
   \( MC \approx \frac{8}{0.577} \approx 13.87 \) см.

Ответ: MC = 8√3 см ≈ 13.87 см.