Окружность с центром С и радиусом 8 см вписана в треугольник KMN. Найди расстояние от центра С до вершины М, если ∠MKN = 50° и ∠MNK = 70°.

Решение:

1. Найдём третий угол треугольника: \( \angle KMN = 180° - \angle MKN - \angle MNK = 180° - 50° - 70° = 60° \).
2. Так как окружность вписана в треугольник, центр С является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
3. Луч СМ является биссектрисой угла \( \angle KMN \). Следовательно, \( \angle CMN = \frac{1}{2} \angle KMN = \frac{1}{2} \times 60° = 30° \).
4. Пусть точка касания окружности со стороной MN обозначена как K_1. Тогда \( CK_1 \perp MN \) и \( CK_1 = 8 \) см (радиус окружности).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CK_1M \). \( \angle CK_1M = 90° \), \( \angle CMK_1 = \angle CMN = 30° \) и \( CK_1 = 8 \) см.
6. Используем тангенс угла: \( \tan(\angle CMK_1) = \frac{CK_1}{MK_1} \) и \( \tan(\angle CMN) = \frac{CK_1}{MK_1} \).
7. Из \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) имеем \( \frac{8}{MK_1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), откуда \( MK_1 = 8\sqrt{3} \) см.
8. В прямоугольном треугольнике \( \triangle CK_1M \) синус угла \( \angle CMK_1 \) равен: \( ypeof{ \text{sin}}(30°) = \frac{CK_1}{CM} \).
9. Так как \( ypeof{ \text{sin}}(30°) = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{2} = \frac{8}{CM} \).
10. Отсюда \( CM = 16 \) см.

Ответ: 16 см.