Окружность с центром С и радиусом 8 см вписана в треугольник KMN. Найдите расстояние от центра С до вершины М, если ∠MKN = 50° и ∠MNK = 70°.

1. Угол ∠KMN = 180° - 50° - 70° = 60°. Так как С - центр вписанной окружности, то С лежит на биссектрисах углов треугольника. Луч MC делит угол ∠KMN пополам, значит ∠CMN = 60° / 2 = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, проведённым к точке касания на стороне KN (обозначим её P), и отрезком CN, имеем ∠CNP = 70° / 2 = 35°. Аналогично, в треугольнике с радиусом к точке касания на MK (обозначим её Q) и отрезком CK, имеем ∠CKQ = 50° / 2 = 25°.

3. В прямоугольном треугольнике CPN, CP = 8 см, ∠CNP = 35°. Тогда CN = CP / sin(35°) ≈ 8 / 0.5736 ≈ 13.945 см.

4. В прямоугольном треугольнике CMN, ∠CMN = 30°, ∠CNM = 70°. Угол ∠MCN = 180° - 30° - 70° = 80°.

5. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом к точке касания на MN (обозначим её R) и отрезком CM, имеем ∠CMR = 30°. CR = 8 см. Тогда CM = CR / sin(30°) = 8 / 0.5 = 16 см.

Ответ: 16 см.