Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 24 и AB = 32.

а) Доказательство. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным: \(OA\perp NA\) и \(OB\perp NB\). Кроме того, \(OA=OB\), поэтому прямоугольные треугольники \(ANO\) и \(BNO\) равны по гипотенузе и катету. Следовательно, \(NO\) — биссектриса угла \(ANB\).

Так как \(BC\) — диаметр, вписанный угол \(BAC\), опирающийся на него, прямой: \(AC\perp AB\). Но \(AB\) лежит на касательной в точке \(A\), а \(OA\perp AB\), поэтому \(AC\parallel OA\). В равнобедренном треугольнике \(AOB\) прямая \(ON\) является биссектрисой угла при вершине \(O\), а значит, высотой к основанию \(AB\): \(ON\perp AB\). Таким образом, \(AC\parallel ON\), то есть \(AC\) параллельна биссектрисе угла \(ANB\).

б) Решение. Пусть \(M\) — середина \(AB\). Тогда \(OM\perp AB\), \(AM=16\), а поскольку \(AC\parallel OM\) и \(BC\perp AC\), треугольник \(ABC\) прямоугольный при \(A\). Поэтому \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{32^2+24^2}=40\), и радиус \(OB=20\).

В прямоугольном треугольнике \(OMB\): \(OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12\). Из подобия прямоугольных треугольников \(NMO\) и \(ACB\) (их катеты соответственно параллельны) получаем \(NO/OM=BC/AB\). Следовательно, \(NO=12\cdot 40/32=15\).

Ответ: а) доказано; б) \(NO=15\).