16. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного тре- угольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠ABC = 153° (см. рис. 191) Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Т.к. треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит

$$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 153°}{2} = \frac{27°}{2} = 13.5°$$

Угол $$BAC$$ - вписанный, значит дуга, на которую он опирается, равна удвоенной величине угла, т.е. дуга $$BC = 2 \cdot 13.5° = 27°$$.

Т.к. $$AB = BC$$, то дуги $$AB$$ и $$BC$$ равны, значит дуга $$AB$$ тоже равна 27°.

Угол $$BOC$$ - центральный, значит он равен дуге, на которую опирается, т.е. дуге $$BC$$.

Угол $$AOB$$ - центральный, значит он равен дуге, на которую опирается, т.е. дуге $$AB$$.

Следовательно, $$\angle BOC = \angle AOB = 27°$$.

Сумма углов, образующих полный круг, равна 360°, значит

$$\angle AOC = 360° - \angle BOC - \angle AOB = 360° - 27° - 27° = 306°$$

Т.к. треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$\angle AOC = \angle BOC$$ и углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOC$$ образуют в сумме угол 360°, то $$\angle AOC = 306°/2 = 153°$$.

Рассмотрим треугольник $$BOC$$. Он равнобедренный, т.к. стороны $$BO$$ и $$OC$$ - радиусы окружности, значит углы при основании равны, т.е. $$\angle OBC = \angle OCB$$.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит

$$\angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - 2 \cdot \angle OCB$$ $$\angle OCB = (180° - 153°)/2 = 27°/2 = 13.5°$$ $$\angle BOC = 180° - 13.5° - 13.5° = 153°$$

Ответ: 27°