Окружность с центром в точке О вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P таким образом, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD. Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP = 12, PK = 5, а ∠FPK = 90°.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник FPK. Так как ∠FPK = 90°, то это прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, находим FK:
   \[FK = \sqrt{FP^2 + PK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\]
2. Пусть сторона ромба равна a. Так как окружность вписана в ромб, то FP || BD, и треугольник AFP подобен треугольнику ABD. Отношение сторон FP и FK в треугольнике FPK подобно отношению сторон BD и AC в ромбе.
3. Обозначим половину диагонали BD как x, а половину диагонали AC как y. Тогда BD = 2x и AC = 2y.
   Треугольники AFP и ABD подобны, следовательно:\[\frac{FP}{BD} = \frac{AF}{AB}\]
   Также треугольники APK и ADC подобны, следовательно:\[\frac{PK}{AC} = \frac{AP}{AD}\]
4. Из подобия треугольников AFP и ABD имеем:\[\frac{12}{2x} = \frac{AF}{a}\]
   Из подобия треугольников APK и ADC имеем:\[\frac{5}{2y} = \frac{AP}{a}\]
5. Поскольку FPK - прямоугольный треугольник, можно считать, что он образован касательными к окружности, вписанной в ромб. Тогда отрезки AF и AP касательные из точки A к окружности, и AF = AP.
6. Разделим первое уравнение на второе:\[\frac{\frac{12}{2x}}{\frac{5}{2y}} = \frac{\frac{AF}{a}}{\frac{AP}{a}} \Rightarrow \frac{12y}{5x} = 1 \Rightarrow 12y = 5x\]
7. Так как диагонали ромба перпендикулярны, то в прямоугольном треугольнике с катетами x и y и гипотенузой a, по теореме Пифагора:
   \[x^2 + y^2 = a^2\]
8. Подставим y из уравнения 12y = 5x:
   \[y = \frac{5x}{12}\]
   Тогда:\[x^2 + (\frac{5x}{12})^2 = a^2 \Rightarrow x^2 + \frac{25x^2}{144} = a^2 \Rightarrow \frac{169x^2}{144} = a^2\]
9. Знаем, что FK = 13, и это соответствует диагонали AC, следовательно: 2y = 13. Тогда y = 6.5. Подставим в уравнение 12y = 5x:
   \[12 \cdot 6.5 = 5x \Rightarrow 78 = 5x \Rightarrow x = 15.6\]
10. Тогда BD = 2x = 2 \cdot 15.6 = 31.2

Ответ: 31.2