Окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC. Точки H, T и P – точки касания со сторонами. Укажите верные утверждения.

Решение:

На рисунке изображена окружность, вписанная в треугольник ABC. Точки касания окружности со сторонами треугольника – это H, T, P. Центр вписанной окружности (O) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

• 1) AO = OB = OC – неверно. Точки A, B, C лежат на окружности, описанной около треугольника. O – центр вписанной окружности, а не описанной.
• 2) OH ⊥ AB – неверно. OH – это радиус, проведенный в точку касания T на стороне AB. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OT ⊥ AB.
• 3) ∠BCO = ∠ACO – верно. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов треугольника. CO является биссектрисой угла C, поэтому делит его на два равных угла: ∠BCO = ∠ACO.
• 4) OH = OP = OT – верно. OH, OP, OT – это радиусы вписанной окружности, проведенные к точкам касания. Все радиусы одной окружности равны между собой.

Ответ: 3, 4.