Окружность вписана в четырехугольник, периметр которого равен 42. Известно, что две его стороны равны 4 и 8. Найди наибольшую из оставшихся сторон.

Решение:

В четырехугольник вписана окружность. По свойству четырехугольника, в который вписана окружность, суммы противоположных сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника равны \( a, b, c, d \).

Периметр четырехугольника равен \( P = a + b + c + d = 42 \).

По условию, две стороны равны 4 и 8. Пусть \( a = 4 \) и \( b = 8 \).

Сумма двух известных сторон: \( a + b = 4 + 8 = 12 \).

Сумма двух оставшихся сторон: \( c + d = P - (a + b) = 42 - 12 = 30 \).

По свойству описанного четырёхугольника: \( a + c = b + d \) или \( a + b = c + d \) — это неверно, верно \( a + c = b + d \) если стороны идут по порядку.

Правильное свойство: \( a + c = b + d \), где \(a\) и \(c\) — противоположные стороны, \(b\) и \(d\) — другие противоположные стороны.

В нашем случае, нам даны две стороны. Нам нужно найти наибольшую из оставшихся. Пусть данные стороны не являются противоположными, то есть \( a = 4 \) и \( b = 8 \).

Тогда \( c + d = 30 \).

Также, по свойству описанного четырёхугольника, \( a + c = b + d \) (суммы противоположных сторон равны).

Подставим известные значения:

\( 4 + c = 8 + d \)

Выразим \( c \) через \( d \): \( c = 8 + d - 4 = 4 + d \).

Теперь подставим это в уравнение \( c + d = 30 \):

\( (4 + d) + d = 30 \)

\( 4 + 2d = 30 \)

\( 2d = 30 - 4 \)

\( 2d = 26 \)

\( d = 13 \).

Теперь найдем \( c \):

\( c = 4 + d = 4 + 13 = 17 \).

Итак, стороны четырехугольника равны 4, 8, 17, 13.

Проверим периметр: \( 4 + 8 + 17 + 13 = 12 + 30 = 42 \). Верно.

Проверим свойство описанного четырёхугольника: \( a + c = 4 + 17 = 21 \) и \( b + d = 8 + 13 = 21 \). Верно.

Оставшиеся стороны равны 13 и 17. Наибольшая из них — 17.

Важно: если бы данные стороны (4 и 8) были противоположными, то \( 4+8 = 12 \) и \( c+d = 30 \). Тогда \( a+c = 4+c \) и \( b+d = 8+d \). \( 4+c = 8+d \) => \( c-d = 4 \). \( c+d = 30 \). Складывая уравнения: \( 2c = 34 \) => \( c = 17 \), \( d = 13 \). В этом случае стороны были бы 4, 17, 8, 13. Ответ тот же.

Ответ: 17.