Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 20 см

1. Пусть окружность касается боковой стороны в точке K, и пусть AK = 4 см и KC = 25 см.
2. Тогда вся боковая сторона AC = AK + KC = 4 + 25 = 29 см.
3. Так как в трапецию вписана окружность, то высота трапеции равна диаметру этой окружности.
4. Обозначим высоту трапеции как h. Так как трапеция прямоугольная, то меньшая боковая сторона также равна h.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, проведенной из вершины верхнего основания к нижнему основанию.
6. Обозначим отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, как a = 4 см и b = 25 см.
7. Высота трапеции h равна \(2\sqrt{ab}\).
8. \(h = 2\sqrt{4 \cdot 25} = 2 \sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20\) см.

Ответ: 20 см