Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 7 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \) и боковыми сторонами \( AB = BC \). Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны \( AB \) в точке \( D \), стороны \( BC \) в точке \( E \) и основания \( AC \) в точке \( F \).

По условию, точка касания делит одну из боковых сторон на отрезки длиной 7 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Это означает, что вершина \( B \) является той вершиной, от которой отсчитываются отрезки. Следовательно, \( BD = BE = 7 \) и \( AD = CE = 5 \) (или наоборот, но из-за симметрии равнобедренного треугольника это не изменит результат).

В равнобедренном треугольнике отрезки от вершины, противолежащей основанию, до точек касания вписанной окружности на боковых сторонах равны. Также отрезки от вершин основания до точек касания на боковых сторонах и основании равны.

Так как \( AD = 5 \), то \( AF = AD = 5 \).

Так как \( CE = 5 \), то \( CF = CE = 5 \).

Тогда длина основания \( AC = AF + CF = 5 + 5 = 10 \).

Длина боковой стороны \( AB = AD + DB = 5 + 7 = 12 \).

Так как треугольник равнобедренный, то \( BC = AB = 12 \).

Периметр треугольника \( P = AB + BC + AC \).

\[ P = 12 + 12 + 10 = 34 \]

Ответ: 34