Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 56°, 57° и 67°.

Для решения этой задачи, нам потребуется вспомнить свойство вписанного угла и центрального угла, опирающихся на одну и ту же дугу. Также нужно знать, что углы треугольника МКР опираются на дуги, которые составляют окружность, вписанную в треугольник ABC. Обозначим углы треугольника ABC как ∠A, ∠B и ∠C, а углы треугольника МКР как ∠M, ∠K и ∠P, где ∠M = 56°, ∠K = 57°, ∠P = 67°. Угол ∠M опирается на дугу KR, угол ∠K опирается на дугу MP, и угол ∠P опирается на дугу MK. Угол ∠A будет связан с углом ∠M следующим образом: $$∠A = 180° - 2 * ∠M = 180° - 2 * 56° = 180° - 112° = 68°$$ Угол ∠B будет связан с углом ∠K следующим образом: $$∠B = 180° - 2 * ∠K = 180° - 2 * 57° = 180° - 114° = 66°$$ Угол ∠C будет связан с углом ∠P следующим образом: $$∠C = 180° - 2 * ∠P = 180° - 2 * 67° = 180° - 134° = 46°$$ Проверим, что сумма углов треугольника ABC равна 180°: $$∠A + ∠B + ∠C = 68° + 66° + 46° = 180°$$ Таким образом, углы треугольника ABC равны 68°, 66° и 46°. Ответ: ∠A = 68°, ∠B = 66°, ∠C = 46°