Окружность вписанная в треугольник АВС касается сторон в точках А1, В1, С1 соответственно. Найдите значение (AB+ AC-BC).

Пусть $$a, b, c$$ - длины сторон $$BC, AC, AB$$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$AC_1 = AB_1$$, $$BC_1 = BA_1$$, $$CA_1 = CB_1$$.

Также $$AB = AB_1 + B_1C$$, $$AC = AC_1 + C_1B$$, $$BC = BA_1 + A_1C$$.

Из этого следует, что $$AB + AC - BC = (AB_1 + B_1C) + (AC_1 + C_1B) - (BA_1 + A_1C) = (AB_1 + AC_1) + (B_1C + C_1B) - (BA_1 + A_1C)$$.

Так как $$AB_1 = AC_1$$, $$B_1C = BA_1$$, $$C_1B = CA_1$$, то $$AB + AC - BC = 2AC_1 + 2C_1B - 2BA_1 = 2(AC_1 + C_1B - BA_1)$$.

Однако, более простое решение основано на том, что $$AB + AC - BC = (AB_1 + B_1C) + (AC_1 + C_1B) - (BA_1 + A_1C)$$.

Заметим, что $$AB_1 = AC_1$$, $$BC_1 = BA_1$$, $$CA_1 = CB_1$$.

Тогда $$AB + AC - BC = (AC_1 + BC_1) + (AB_1 + CA_1) - (BA_1 + CB_1) = 2AC_1 + 2C_1B - 2BA_1$$.

Рассмотрим $$AB + AC - BC$$.

Пусть $$x = AB_1 = AC_1$$, $$y = BA_1 = BC_1$$, $$z = CA_1 = CB_1$$.

Тогда $$AB = x+y$$, $$AC = x+z$$, $$BC = y+z$$.

$$AB + AC - BC = (x+y) + (x+z) - (y+z) = 2x$$.

Таким образом, $$AB + AC - BC = 2 imes AB_1 = 2 imes AC_1$$.

Значение выражения равно удвоенной длине отрезка от вершины $$A$$ до точки касания на стороне $$BC$$.

Без дополнительных данных о длинах сторон или углах треугольника, точное числовое значение найти невозможно. Однако, выражение $$AB + AC - BC$$ всегда равно $$2 imes AB_1$$ (или $$2 imes AC_1$$).