Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство: 1. Обозначения: * Пусть данный угол будет $$\angle A$$. * Пусть окружность пересекает стороны угла $$\angle A$$ в точках $$B$$ и $$C$$ соответственно. * По условию, хорды $$AB$$ и $$AC$$ равны, то есть $$AB = AC$$. * Пусть $$O$$ - центр окружности. * Проведём отрезки $$OB$$ и $$OC$$. Они являются радиусами окружности. 2. Равенство треугольников: * Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle AOC$$. * $$AB = AC$$ (по условию). * $$OB = OC$$ (как радиусы одной и той же окружности). * $$AO$$ - общая сторона. * Следовательно, $$\triangle AOB = \triangle AOC$$ по трём сторонам (критерий SSS). 3. Равенство углов: * Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $$\angle OAB = \angle OAC$$. 4. Биссектриса: * Так как $$\angle OAB = \angle OAC$$, то отрезок $$AO$$ делит угол $$\angle BAC$$ пополам. * Следовательно, $$AO$$ является биссектрисой угла $$\angle BAC$$. 5. Вывод: * Центр окружности $$O$$ лежит на отрезке $$AO$$, который является биссектрисой угла $$\angle A$$. * Таким образом, центр окружности лежит на биссектрисе данного угла, что и требовалось доказать.