Окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите СМ, если АС = 9.

Решение:

В условии задачи сказано, что окружность описана около треугольника ABC, и её центр лежит на стороне AB. Это означает, что сторона AB является диаметром окружности.

Диаметр окружности равен \( D = 2 \cdot R \), где \( R \) — радиус. По условию радиус равен \( R = 20,5 \), значит, диаметр \( AB = 2 \cdot 20,5 = 41 \).

Так как AB — диаметр, то угол ACB, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где известны гипотенуза AB = 41 и один катет AC = 9. Мы можем найти второй катет BC по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\( 9^2 + BC^2 = 41^2 \)
\( 81 + BC^2 = 1681 \)
\( BC^2 = 1681 - 81 \)
\( BC^2 = 1600 \)
\( BC = \sqrt{1600} = 40 \).

В прямоугольном треугольнике ABC, CM — высота, проведенная к гипотенузе AB. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 9 \cdot 20 = 180 \)
2. Через основание (гипотенузу) и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot CM \)

Приравниваем обе формулы для площади:

\( \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot CM = 180 \)
\( 41 \cdot CM = 360 \)
\( CM = \frac{360}{41} \)

Ответ: CM = 360/41.