Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки Си D на второй. При этом АС и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Для решения этой задачи необходимо применить знания геометрии, в частности, свойства касательных к окружности, а также умение строить дополнительные построения для упрощения решения. ШАГ 1. Анализ условия и идентификация задачи. * Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей известны: $$r_1 = 45$$ и $$r_2 = 55$$. * Точки A и B лежат на первой окружности, а точки C и D - на второй окружности. * AC и BD являются общими касательными к обеим окружностям. * Требуется найти расстояние между прямыми AB и CD. ШАГ 2. Выбор методики и планирование решения. 1. Построить чертеж, соответствующий условию задачи. 2. Провести радиусы в точки касания и использовать свойства касательных (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 3. Построить общую касательную к окружностям, проходящую через точку касания окружностей. 4. Рассмотреть трапецию, образованную радиусами и касательными. 5. Найти расстояние между прямыми AB и CD, используя геометрические соотношения. ШАГ 3. Пошаговое выполнение и форматирование. Обозначим центры окружностей как $$O_1$$ и $$O_2$$. Пусть $$K$$ – точка касания окружностей, а $$L$$ – точка пересечения прямых $$AB$$ и $$CD$$. Проведём радиусы $$O_1A$$ и $$O_2C$$ в точки касания $$A$$ и $$C$$. Поскольку $$AC$$ – общая касательная, то $$O_1A perp AC$$ и $$O_2C perp AC$$. Аналогично, $$O_1B perp BD$$ и $$O_2D perp BD$$. Заметим, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны общей касательной, проходящей через точку $$K$$, так как они перпендикулярны линиям центров окружностей. Пусть $$h_1$$ – расстояние от $$O_1$$ до $$AB$$, а $$h_2$$ – расстояние от $$O_2$$ до $$CD$$. Тогда расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ можно выразить как $$h = h_1 + h_2 + 2sqrt{r_1 r_2}$$. Из подобия треугольников $$O_1KA$$ и $$O_2KC$$, следует, что $$O_1A parallel O_2C$$ и $$O_1B parallel O_2D$$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $$AO_1O_2C$$. Проведём высоту из точки $$O_1$$ к $$O_2C$$. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза $$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 45 + 55 = 100$$, а один из катетов равен $$r_2 - r_1 = 55 - 45 = 10$$. Тогда другой катет, который является расстоянием между параллельными прямыми $$AC$$ и $$BD$$, равен: $$d = sqrt{(r_1 + r_2)^2 - (r_2 - r_1)^2} = sqrt{(100)^2 - (10)^2} = sqrt{10000 - 100} = sqrt{9900} = 30sqrt{11}$$. Теперь рассмотрим расстояние от центра окружности до хорды. Это расстояние можно найти, используя теорему Пифагора. Для первой окружности: $$h_1 = sqrt{r_1^2 - (AB/2)^2}$$. Но так как AB = CD и (d = 30sqrt{11}), где (r_1 = 45). Радиус первой окружности = 45, радиус второй окружности = 55. Для вычисления расстояния между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ необходимо найти величины $$h_1$$ и $$h_2$$. Используя подобие треугольников $$O_1LA$$ и $$O_2LC$$, получим: $$\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{45}{55} = \frac{9}{11}$$. Расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$ равно $$h = h_1+h_2= \frac{1}{2} \sqrt{4r_1^2 - d^2} + \frac{1}{2} \sqrt{4r_2^2 - d^2} = \frac{1}{2} (\sqrt{4 \cdot 45^2 - (30 \sqrt{11})^2} + \sqrt{4 \cdot 55^2 - (30 \sqrt{11})^2})$$ $$h = \frac{1}{2} (\sqrt{4 \cdot 2025 - 9900} + \sqrt{4 \cdot 3025 - 9900}) = \frac{1}{2} (\sqrt{8100 - 9900} + \sqrt{12100 - 9900}) = \frac{1}{2} (\sqrt{-1800} + \sqrt{2200}) $$ Данный ответ неверен, т.к. под корнем получается отрицательное число. Вероятно, допущена ошибка в рассуждениях. Проведём $$O_1X parallel AB$$ и $$O_2Y parallel CD$$. $$O_1X$$ и $$O_2Y$$ – расстояния между прямыми. $$O_1X+O_2Y=\sqrt{(R+r)^2 - (R-r)^2} = 2\sqrt{Rr}$$ = $$2\sqrt{45*55}= 30\sqrt{11}$$ В данной задаче недостаточно информации, чтобы определить расстояние между прямыми АВ и СD. ШАГ 4. Финальное оформление ответа. В виду недостаточности информации, к сожалению, нельзя найти точное числовое значение расстояния между прямыми. Данное расстояние равно $$30\sqrt{11}$$.