25. Окружности радиусов 30 и 90 касаются внешним образом. Точки M и N лежат на первой окружности, точки K и L – на второй. При этом MK и NL – общие касательные окружностей. Найди расстояние между прямыми MN и KL.

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ - центры окружностей радиусов $$r_1 = 30$$ и $$r_2 = 90$$ соответственно. Пусть $$MN$$ и $$KL$$ - общие внутренние касательные к окружностям. Необходимо найти расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KL$$. Обозначим расстояние между центрами окружностей как $$d = r_1 + r_2 = 30 + 90 = 120$$. Пусть $$h$$ - расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KL$$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $$O_1 O_2 L K$$. Проведем $$O_1 H perp O_2 L$$. Тогда $$O_1 H = KL$$ и $$O_2 H = r_2 - r_1 = 90 - 30 = 60$$. По теореме Пифагора, $$KL = O_1 H = sqrt{O_1 O_2^2 - O_2 H^2} = sqrt{120^2 - 60^2} = sqrt{14400 - 3600} = sqrt{10800} = 60sqrt{3}$$. Пусть $$A$$ - точка пересечения прямых $$MN$$ и $$KL$$. Тогда $$ riangle A O_1 M$$ подобен $$ riangle A O_2 K$$. Коэффициент подобия равен $$rac{AO_1}{AO_2} = rac{r_1}{r_2} = rac{30}{90} = rac{1}{3}$$. Следовательно, $$AO_1 = rac{1}{3} AO_2$$, и $$O_1 O_2 = AO_2 - AO_1 = AO_2 - rac{1}{3} AO_2 = rac{2}{3} AO_2$$. Отсюда $$AO_2 = rac{3}{2} O_1 O_2 = rac{3}{2} cdot 120 = 180$$. Пусть прямая $$O_1 O_2$$ пересекает $$MN$$ в точке $$P$$, а $$KL$$ в точке $$Q$$. Тогда $$ riangle A P O_1$$ подобен $$ riangle A Q O_2$$. Из подобия $$rac{AP}{AQ} = rac{AO_1}{AO_2} = rac{1}{3}$$. $$AP = rac{1}{3} AQ$$, и $$PQ = AQ - AP = AQ - rac{1}{3} AQ = rac{2}{3} AQ$$. Также $$AQ = AO_2 sin angle KAO_2 = 180 cdot rac{30}{180} = 30sqrt{3}$$. Значит, расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KL$$ равно $$PQ = rac{2}{3} AQ = rac{2}{3} cdot 60sqrt{3} = 40 sqrt{3}$$. Опустим перпендикуляры $$O_1X$$ на $$MN$$ и $$O_2Y$$ на $$KL$$. Тогда $$O_1X = 30$$ и $$O_2Y = 90$$. Расстояние $$XY$$ между прямыми $$MN$$ и $$KL$$ можно найти как $$XY = O_1O_2 sin alpha = 120 cdot rac{60 sqrt{3}}{120} = 60sqrt{3}$$. Рассмотрим трапецию $$MNLK$$. Высота трапеции $$XY$$ есть расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KL$$. Проведем прямую через $$O_1$$, параллельную $$MN$$, и прямую через $$O_2$$, параллельную $$KL$$. Угол между этими прямыми $$alpha$$. $$MN || O_1P$$ и $$KL || O_2Q$$, тогда угол $$O_1PO_2 = alpha$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$O_1HO_2$$. $$sin alpha = rac{60}{120} = rac{1}{2} => alpha = 30^circ$$. Расстояние между параллельными прямыми равно $$O_1X+O_2Y = 30 + 90 = 120$$. Рассмотрим прямоугольную трапецию $$MNLK$$. Пусть $$h$$ - расстояние между $$MN$$ и $$KL$$. Тогда $$h = sqrt{(120)^2 - (90-30)^2} = sqrt{14400 - 3600} = sqrt{10800} = 60sqrt{3}$$. Опустим перпендикуляр из $$O_1$$ на радиус $$O_2K$$. Пусть $$h$$ - расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KL$$. Тогда $$h = O_1 O_2 * sin alpha = 120 * rac{60}{120} = 60$$. Тогда расстояние между прямыми равно: $$d = h = 60sqrt{3}$$. Ответ: $$60\sqrt{3}$$