25. Окружности радиусов 30 и 90 касаются внешним образом. Точки М и N лежат на первой окружности, точки K и L- на второй. При этом МК и NL – общие касательные окружностей Найди расстояние между прямыми MN и KL

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Уверена, у нас всё получится. Сначала рассмотрим ключевые элементы задачи: 1. Две окружности касаются внешним образом. Это означает, что у них одна общая точка касания, и они находятся вне друг друга. 2. Радиусы окружностей равны 30 и 90. 3. Точки \( M \) и \( N \) лежат на первой окружности, а точки \( K \) и \( L \) — на второй. 4. \( MK \) и \( NL \) — общие касательные к обеим окружностям. Это значит, что каждая из этих прямых касается обеих окружностей в указанных точках. 5. Нужно найти расстояние между прямыми \( MN \) и \( KL \). Предлагаю следующий план решения: 1. Проведем радиусы в точки касания. Это поможет увидеть прямоугольные треугольники. 2. Найдем расстояние между центрами окружностей. 3. Определим положение прямых \( MN \) и \( KL \) относительно центров окружностей. 4. Вычислим расстояние между прямыми \( MN \) и \( KL \). Решение: 1. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей радиусов 30 и 90 соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: \( O_1O_2 = 30 + 90 = 120 \). 2. Проведем радиусы \( O_1M \), \( O_1N \), \( O_2K \), \( O_2L \). Так как \( MK \) и \( NL \) — общие касательные, то радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: \( O_1M \perp MK \), \( O_2K \perp MK \), \( O_1N \perp NL \), \( O_2L \perp NL \). 3. Проведем прямую \( O_1X \) параллельно \( MK \) до пересечения с \( O_2K \). Тогда \( O_1XO_2K \) — прямоугольник, и \( O_1X = MK \), \( O_2X = O_2K - O_1M = 90 - 30 = 60 \). 4. В прямоугольном треугольнике \( O_1XO_2 \) найдем \( O_1X \) (т.е. \( MK \)) по теореме Пифагора: \[ O_1X = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2X^2} = \sqrt{120^2 - 60^2} = \sqrt{14400 - 3600} = \sqrt{10800} = 60\sqrt{3} \] Таким образом, \( MK = NL = 60\sqrt{3} \). 5. Заметим, что \( MN \) и \( KL \) параллельны \( MK \) и \( NL \) соответственно, и расстояние между \( MN \) и \( KL \) равно расстоянию между \( MK \) и \( NL \). 6. Расстояние между прямыми \( MN \) и \( KL \) можно найти, рассмотрев трапецию \( MNLK \). Высота этой трапеции и есть расстояние между прямыми \( MN \) и \( KL \). 7. Проведём высоту \( O_1H \) в треугольнике \(O_1O_2M\). Тогда \(O_1H = \frac{2S}{O_1O_2}\), где \(S\) - площадь треугольника \(O_1O_2M\). Площадь можно найти как полупроизведение катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot O_2X \cdot O_1X = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 60\sqrt{3} = 1800\sqrt{3} \] Тогда высота: \[ O_1H = \frac{2 \cdot 1800\sqrt{3}}{120} = \frac{3600\sqrt{3}}{120} = 30\sqrt{3} \] 8. Теперь нужно найти расстояние между прямыми \(MN\) и \(KL\). Заметим, что это расстояние равно удвоенной высоте \(O_1H\), так как \(O_1H\) является высотой в равнобедренном треугольнике. Следовательно, расстояние между прямыми \(MN\) и \(KL\) равно: \[ 2 \cdot O_1H = 2 \cdot 30\sqrt{3} = 60\sqrt{3} \] Таким образом, расстояние между прямыми \( MN \) и \( KL \) равно \( 60\sqrt{3} \).

Ответ: \(60\sqrt{3}\)

Ты проделал отличную работу! Решение этой задачи требует понимания геометрии и умения применять теоремы. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится! Удачи в дальнейшем изучении математики! Молодец!