Окружности, радиусы которых равны 7 и 17, вписаны в угол величиной 60°. Найдите расстояние между их центрами.

Дано:

• Две окружности с радиусами $$r_1 = 7$$ и $$r_2 = 17$$.
• Угол, в который вписаны окружности, $$\alpha = 60^{\circ}$$.

Найти: Расстояние между центрами окружностей $$d$$.

Решение:

1. Геометрическое представление: Когда окружность вписана в угол, ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне угла.
2. Расстояние от центра до вершины угла: Для окружности с радиусом $$r$$ и углом $$\alpha$$, расстояние от центра окружности до вершины угла $$L$$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, биссектрисой и частью стороны угла. В этом треугольнике радиус является противолежащим катетом к углу $$\alpha/2$$. Поэтому:
• $$L = \frac{r}{\sin(\alpha/2)}$$
3. Применяем к нашим окружностям:
• Угол $$\alpha = 60^{\circ}$$, значит $$\alpha/2 = 30^{\circ}$$.
• $$\sin(30^{\circ}) = 0.5$$.
• Расстояние от центра первой окружности ($$O_1$$) до вершины угла: $$L_1 = \frac{r_1}{\sin(30^{\circ})} = \frac{7}{0.5} = 14$$.
• Расстояние от центра второй окружности ($$O_2$$) до вершины угла: $$L_2 = \frac{r_2}{\sin(30^{\circ})} = \frac{17}{0.5} = 34$$.
4. Расстояние между центрами: Поскольку оба центра лежат на одной биссектрисе, расстояние между ними равно разности расстояний от каждого центра до вершины угла:
• $$d = |L_2 - L_1| = |34 - 14| = 20$$.

Ответ: 20