Окружности с радиусами 8 см и 6 см пересекаются в двух точках, как показано на рисунке. Прямая т касается правой окружности в точке С. Найдите расстояние ОС между центром левой окружности и прямой т, если расстояние PQ = 3 см.

По условию задачи нам даны две окружности с радиусами 8 см и 6 см, которые пересекаются. Прямая m касается правой окружности в точке C, а расстояние PQ = 3 см. Требуется найти расстояние O₁C между центром левой окружности и прямой m.

Решение:

1. Расстояние между центрами окружностей O₁O₂ равно сумме радиуса левой окружности (O₁P) + расстояние PQ + радиус правой окружности (QO₂):

   $$O₁O₂ = O₁P + PQ + QO₂ = 8 \text{ см} + 3 \text{ см} + 6 \text{ см} = 17 \text{ см}$$

2. Прямая m касается правой окружности в точке C, значит, O₂C перпендикулярна m, и O₂C = 6 см (радиус правой окружности).

3. Проведём O₁A перпендикулярно m. Тогда O₁A — это искомое расстояние от центра левой окружности до прямой m.

4. Проведём O₂B перпендикулярно O₁A. Тогда O₁O₂BА — прямоугольник, и O₂B = AC.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁O₂B. В нём O₁O₂ = 17 см, O₂B = AC, и O₁B = O₁A - BA = O₁A - O₂C = O₁A - 6 см.

6. Найдём AC. PQ = 3 см, значит, O₁Q = O₁P + PQ = 8 см + 3 см = 11 см. O₂C = 6 см, значит, QC = O₂C = 6 см. Тогда, AC = AQ + QC = PQ + QC = 3 + 6 = 9 см

7. Применим теорему Пифагора к треугольнику O₁O₂B:

   $$O₁O₂² = O₁B² + O₂B²$$ $$(17 \text{ см})² = (O₁A - 6 \text{ см})² + (9 \text{ см})²$$ $$289 = (O₁A - 6)² + 81$$ $$(O₁A - 6)² = 289 - 81 = 208$$ $$O₁A - 6 = \sqrt{208}$$ $$O₁A = 6 + \sqrt{208} = 6 + \sqrt{16 \cdot 13} = 6 + 4\sqrt{13}$$ $$O₁A ≈ 6 + 4 \cdot 3.605 = 6 + 14.42 = 20.42$$

Округлим до целых.

O₁A ≈ 20 см.

Ответ: 20