Окружности с центрами в точках О и О1 пересекаются в точках М и N. Докажите, что секущая MN пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей под прямым углом.

Доказательство:

• Для доказательства рассмотрим треугольники \( \triangle OMO_1 \) и \( \triangle NMO_1 \).
• Стороны \( OM \) и \( ON \) являются радиусами первой окружности, поэтому \( OM = ON \).
• Стороны \( O_1M \) и \( O_1N \) являются радиусами второй окружности, поэтому \( O_1M = O_1N \).
• Отрезок \( OO_1 \) является общей стороной для обоих треугольников.
• Следовательно, \( \triangle OMO_1 \) и \( \triangle NMO_1 \) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
• Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в частности, \( \angle MOO_1 = \angle NOO_1 \) и \( \angle MO_1O = \angle NO_1O \).
• Рассмотрим \( \triangle MON \). Так как \( OM = ON \), то \( \triangle MON \) — равнобедренный. Отрезок \( OO_1 \) является биссектрисой угла \( \angle MON \) (поскольку \( \angle MOO_1 = \angle NOO_1 \)).
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, \( OO_1 \) перпендикулярно \( MN \), то есть \( \angle MOR = 90^{\circ} \).
• Аналогично, рассмотрим \( \triangle MNO_1 \). Так как \( O_1M = O_1N \), то \( \triangle MNO_1 \) — равнобедренный. Отрезок \( OO_1 \) является биссектрисой угла \( \angle MN O_1 \) (поскольку \( \angle MO_1O = \angle NO_1O \)).
• Следовательно, \( OO_1 \) перпендикулярно \( MN \).
• Таким образом, секущая \( MN \) пересекает отрезок \( OO_1 \), соединяющий центры окружностей, под прямым углом.

Что и требовалось доказать.