Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что прямые PQ и KL перпендикулярны.

Доказательство:

1. Пусть точки пересечения окружностей с центрами в точках P и Q - точки K и L.
2. Так как точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL, то отрезок PQ пересекает отрезок KL в некоторой точке O.
3. Соединим точки P и K, P и L, Q и K, Q и L.
4. Рассмотрим треугольники PKQ и PLQ. PK = PQ, QK = QL как радиусы окружностей с центрами в точках P и Q соответственно. PQ - общая сторона. Следовательно, треугольники PKQ и PLQ равны по трем сторонам.
5. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠KPQ = ∠LPQ. Это означает, что PQ - биссектриса угла KPL.
6. Рассмотрим треугольник KPL. Так как PK = PL (радиусы окружности с центром в точке P), то треугольник KPL - равнобедренный с основанием KL.
7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, PQ является медианой и высотой треугольника KPL.
8. Таким образом, PQ перпендикулярна KL.

Ответ: Прямые PQ и KL перпендикулярны.