Оксана загадала число. Она сказала: «Моё число меньше 100; при делении на 7 оно даёт остаток 6, а при делении на 9 - остаток 8». Какое число загадала Оксана? Запиши решение и ответ.

Решение:

Пусть x - задуманное число. Тогда можно записать следующие условия:

• x < 100
• x ≡ 6 (mod 7)
• x ≡ 8 (mod 9)

Из второго условия следует, что x = 7k + 6 для некоторого целого числа k. Подставим это в третье условие:

7k + 6 ≡ 8 (mod 9)

7k ≡ 2 (mod 9)

Чтобы решить это сравнение, нужно найти обратное число для 7 по модулю 9. Можно заметить, что 7 * 4 = 28 ≡ 1 (mod 9), поэтому 4 является обратным числом для 7 по модулю 9.

Умножим обе части сравнения на 4:

4 * 7k ≡ 4 * 2 (mod 9)

28k ≡ 8 (mod 9)

k ≡ 8 (mod 9)

Значит, k = 9m + 8 для некоторого целого числа m. Подставим это в выражение для x:

x = 7(9m + 8) + 6

x = 63m + 56 + 6

x = 63m + 62

Теперь нужно найти такое m, чтобы x < 100. Если m = 0, то x = 62. Если m = 1, то x = 63 + 62 = 125, что больше 100.

Следовательно, задуманное число x = 62.

Проверка:

• 62 < 100
• 62 ∶ 7 = 8 (остаток 6)
• 62 ∶ 9 = 6 (остаток 8)

Ответ: 62