12. Олег и Серёжа хотят купить книгу. У Олега есть только некоторое количество монет достоинством в 1 руб. Ему не хватает до покупки книги 135 руб. У Серёжи тоже есть деньги, но ему не хватает до покупки этой книги 2 руб. Если мальчики сложат свои деньги вместе, им всё равно не хватит денег на покупку книги. Сколько стоит книга? Решение:

Пусть x - стоимость книги в рублях. Олегу не хватает 135 рублей, значит у него есть x - 135 рублей. Серёже не хватает 2 рубля, значит у него есть x - 2 рублей. Вместе у них x - 135 + x - 2 = 2x - 137 рублей. По условию, им вместе всё равно не хватает денег на покупку книги, значит 2x - 137 < x. Но если бы им хватало вместе, то было бы 2x - 137 ≥ x. Из условия, что им вместе не хватает денег, следует, что 2x - 137 < x. А то, что Серёже не хватает 2 рубля говорит о том, что вместе у них не может быть меньше, чем x - 2. Тогда получается: x - 135 + x - 2 < x. Однако, если Олег отдаст Серёже 133 рубля, то у них вместе будет достаточно денег, чтобы купить книгу (Серёже не хватает 2 рубля). Это значит, что x - 135 + x - 2 >= x. Поскольку вместе им не хватает денег, но если бы Серёге не хватало больше, то им бы хватило вместе, значит: 2x - 137 < x Получается система неравенств: \[\begin{cases} 2x - 137 < x \\ 2x - 137 \geq x - 1 \end{cases}\] Решим первое неравенство: 2x - 137 < x x < 137 Решим второе неравенство: 2x - 137 \geq x - 1 x \geq 136 Тогда получается: 136 \leq x < 137 Так как достоинство монет 1 рубль, то цена книги - целое число. Тогда x = 136. Проверим: У Олега: 136 - 135 = 1 рубль. У Серёжи: 136 - 2 = 134 рубля. Вместе: 1 + 134 = 135 рублей. Им не хватает 1 рубля, чтобы купить книгу. Ответ: 136 рублей.