Олег написал на доске четырехзначное число, а потом стер первую и последнюю цифры. Позже Олег захотел снова записать это число, но забыл стертые цифры. Все, что он помнит — его число было кратно 15 и вторая и третья цифры — 1 и 5. Какое число могло быть написано на доске?

Решение:

Пусть четырёхзначное число будет представлено как \( AB CD \), где \( A \) — первая цифра, \( B \) — вторая, \( C \) — третья, и \( D \) — четвёртая.

Из условия известно, что стерли первую и последнюю цифры, то есть \( A \) и \( D \) забыты.

Вторая и третья цифры — \( 1 \) и \( 5 \). Таким образом, число имеет вид \( A15D \).

Число кратно 15. Это значит, что оно делится на 3 и на 5 одновременно.

1. Признак делимости на 5: Число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, \( D \) может быть 0 или 5.
2. Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3. Для числа \( A15D \) сумма цифр равна \( A + 1 + 5 + D = A + 6 + D \).

Рассмотрим два случая для \( D \):

• Случай 1: \( D = 0 \)

Сумма цифр: \( A + 6 + 0 = A + 6 \). Эта сумма должна делиться на 3. Так как 6 делится на 3, то \( A \) также должно делиться на 3. \( A \) — первая цифра четырёхзначного числа, поэтому \( A \) может быть 3, 6 или 9 (так как \( A \) не может быть 0).

Возможные числа: 3150, 6150, 9150.

• Случай 2: \( D = 5 \)

Сумма цифр: \( A + 6 + 5 = A + 11 \). Эта сумма должна делиться на 3. Найдём значения \( A \) (от 1 до 9), для которых \( A + 11 \) делится на 3:

• Если \( A = 1 \), сумма = 12 (делится на 3). Число: 1155.
• Если \( A = 4 \), сумма = 15 (делится на 3). Число: 4155.
• Если \( A = 7 \), сумма = 18 (делится на 3). Число: 7155.

Возможные числа: 1155, 4155, 7155.

Объединяем все возможные варианты чисел:

3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

Ответ: Число могло быть 1155, 3150, 4155, 6150, 7155 или 9150.