Олимпиадные задания для 5 класса.

Олимпиадные задания для 5 класса

11. Расшифруй пример на сложение АА + АБ = ВВВ, где А, Б, В — различные цифры. Каждой букве А соответствует одна и та же цифра. То же и для букв Б, В.

Решение:

В примере \( AA + AB = BBB \), где \( A \), \( B \) — различные цифры.

Можно переписать пример так: \( 11 × A + 10 × A + B = 111 × B \)

Упростим: \( 11 × A + B = 111 × B \)

Перенесём \( B \) в правую часть: \( 11 × A = 110 × B \)

Разделим обе части на 11: \( A = 10 × B \)

Поскольку \( A \) и \( B \) — это цифры (от 0 до 9), и \( A \) не может быть 0 (так как стоит на первом месте в двузначном числе), то единственное решение — \( B = 0 \).

Если \( B = 0 \), то \( A = 10 × 0 = 0 \). Но \( A \) не может быть 0. Значит, здесь какая-то ошибка в предположении.

Рассмотрим пример в столбик:

  A A
+ A B
----- 
  B B B

Из сложения \( A + B \) в столбце единиц, мы получаем \( B \) и 1 перенос в следующий разряд.

Из сложения \( A + A + 1 \) (с переносом) в столбце десятков, мы получаем \( B \) и 1 перенос в следующий разряд.

Значит, \( B \) в разряде сотен равно 1.

Теперь подставим \( B = 1 \) в наш пример:

  A A
+ A 1
----- 
  1 1 1

Мы знаем, что \( A × 10 + A + A × 10 + 1 = 111 \)

\( 11 × A + 1 = 111 \)

\( 11 × A = 110 \)

\( A = 10 \). Это невозможно, так как \( A \) — цифра.

Вернёмся к первому способу, но учтём перенос.

\( AA + AB = BBB \) можно записать как \( 10A + A + 10A + B = 100B + 10B + B \) или \( 20A + B = 111B \).

\( 20A = 110B \)

\( 2A = 11B \)

Так как \( A \) и \( B \) — разные цифры, и \( A \) не равно 0, то единственное решение — \( B=2 \) и \( A=11 \) (не подходит) или \( B=0 \) и \( A=0 \) (не подходит).

Или, \( A \) должно быть кратно 11, что невозможно для цифры.

Рассмотрим ещё раз сложение в столбик:

  A A
+ A B
----- 
  B B B

Сложение в первом столбце (единицы): \( A + B = B \) или \( A + B = 10 + B \).

Если \( A + B = B \), то \( A = 0 \), что невозможно.

Значит, \( A + B = 10 + B \). Отсюда \( A = 10 \), что также невозможно.

Проблема в том, что \( BBB \) — это число, где все цифры одинаковые. Это значит, что \( BBB \) должно делиться на 111. \( 111 = 3 × 37 \).

Число \( BBB \) можно записать как \( 111 × B \).

\( AA + AB = 111 × B \)

\( (10A + A) + (10A + B) = 111 × B \)

\( 11A + 10A + B = 111 × B \)

\( 21A + B = 111 × B \)

\( 21A = 110 × B \)

Чтобы \( 21A \) было равно \( 110 × B \), \( A \) должно быть кратно 110, а \( B \) кратно 21. Это невозможно для цифр.

Давайте перепишем \( AA \) как \( A \times 11 \), и \( AB \) как \( 10A + B \).

\( 11A + 10A + B = 111B \)

\( 21A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

Чтобы это уравнение имело решение в целых числах, \( A \) должно быть кратно 110, и \( B \) кратно 21.

Но \( A \) и \( B \) — это цифры.

Единственный вариант, когда \( 21A = 110B \) имеет решение для цифр, это когда \( A=0 \) и \( B=0 \), но \( A \) не может быть 0.

Пробуем подставить значения для \( B \) от 1 до 9.

Если \( B = 1 \): \( 21A = 110 × 1 = 110 \), \( A = 110/21 \) (не целое).

Если \( B = 2 \): \( 21A = 110 × 2 = 220 \), \( A = 220/21 \) (не целое).

Если \( B = 3 \): \( 21A = 110 × 3 = 330 \), \( A = 330/21 \) (не целое).

...

Если \( B = 9 \): \( 21A = 110 × 9 = 990 \), \( A = 990/21 \) (не целое).

Это значит, что пример на самом деле другой.

Возвращаемся к сложению в столбик:

  A A
+ A B
----- 
  B B B

Из последней колонки: \( A+B \) даёт \( B \) в остатке, и 1 в следующую колонку. Это означает \( A + B = 10 + B \), откуда \( A=10 \). Невозможно.

Только если \( A+B \) в первой колонке равно \( B \), то \( A=0 \), но \( A \) не может быть 0.

Это значит, что \( A \) не может быть 0.

Значит \( A \) не может быть 0, \( B \) не может быть 0.

Сложение в колонке единиц: \( A + B \) заканчивается на \( B \). Значит, \( A \) должно быть 0 или 10. Так как \( A \) — цифра, \( A \) должно быть 0. Но \( A \) не может быть 0.

Проблема в том, что \( BBB \) — это число, начинающееся на \( B \).

Значит, \( B \) не может быть 0. \( A \) не может быть 0.

Складываем \( AA + AB \).

\( 11 × A + 10 × A + B = 111 × B \)

\( 21 × A + B = 111 × B \)

\( 21 × A = 110 × B \)

Так как 21 и 110 взаимно просты, \( A \) должно быть кратно 110, а \( B \) кратно 21. Это невозможно для цифр.

Давайте посмотрим на последний разряд: \( A+B \) заканчивается на \( B \). Значит, \( A \) должно быть 0, но \( A \) не может быть 0. Значит, \( A+B=10 \) и мы переносим 1.

\( A+B = 10 \).

Второй разряд: \( A + A + 1 \) (перенос) = \( 2A+1 \).

Этот результат должен быть \( B \) или \( 10+B \).

Так как \( BBB \) — это число, \( B \) может быть от 1 до 9.

Значит \( B \) не может быть 0.

\( A \) не может быть 0.

\( A \) и \( B \) — различные цифры.

Значит, \( A+B = 10 \).

Из сложения \( A+A+1 \) получаем \( B \). Значит, \( 2A+1 = B \) или \( 2A+1 = 10+B \).

Поскольку \( B \) — цифра, \( 2A+1 \) не может быть равно \( 10+B \), так как \( 2A+1 \) может быть максимум \( 2 × 9 + 1 = 19 \).

Значит, \( 2A+1 = B \). Мы имеем систему:

\( A+B=10 \)

\( 2A+1=B \)

Подставляем \( B \) из второго уравнения в первое:

\( A + (2A+1) = 10 \)

\( 3A+1 = 10 \)

\( 3A = 9 \)

\( A = 3 \).

Теперь найдём \( B \): \( B = 2A+1 = 2 × 3 + 1 = 7 \).

Проверим \( A+B=10 \): \( 3+7=10 \). Верно.

Значит, \( A=3 \), \( B=7 \).

Подставляем в пример: \( 33 + 37 = 70 \).

Но \( BBB \) должно быть \( 777 \). Значит, \( B \) не равно 7.

Что-то не так.

Попробуем ещё раз.

\( AA + AB = BBB \)

\( 10A + A + 10A + B = 100B + 10B + B \)

\( 21A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

\( A = \frac{110}{21} B \). Это не даёт целых решений для цифр.

Рассмотрим ещё раз столбик:

  A A
+ A B
----- 
  B B B

Сложение в столбце единиц: \( A+B \) даёт \( B \) и перенос 1. Значит \( A+B = 10+B \) или \( A+B = B \).

Если \( A+B = B \), то \( A=0 \). Это невозможно, так как \( A \) — первая цифра числа \( AA \).

Значит \( A+B = 10+B \), откуда \( A=10 \). Это тоже невозможно, так как \( A \) — цифра.

Это означает, что \( B \) в разряде единиц не может быть той же цифрой, что и \( B \) в разряде десятков и сотен.

Но условие гласит: «Каждой букве А соответствует одна и та же цифра. То же и для букв Б, В.»

Значит, \( A, B, B \) — это цифры.

\( AA \) — это \( A \times 11 \).

\( AB \) — это \( 10A + B \).

\( BBB \) — это \( B \times 111 \).

\( 11A + 10A + B = 111B \)

\( 21A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

\( A = \frac{110}{21} B \).

Если \( B=0 \), то \( A=0 \). Не подходит.

Если \( B=1 \), \( A = 110/21 \) (не целое).

...

Если \( B=9 \), \( A = 990/21 \) (не целое).

Проблема в том, что \( B \) в \( BBB \) — это одна и та же цифра.

Возможно, я неправильно понял условие.

«Каждой букве А соответствует одна и та же цифра. То же и для букв Б, В.»

Значит, \( A, B, V \) — это разные цифры.

\( AA \) — это \( A \) и \( A \). \( AB \) — это \( A \) и \( B \). \( BBB \) — это \( B \) и \( B \) и \( B \).

\( 10A+A + 10A+B = 100B+10B+B \)

\( 21A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

\( A = \frac{110}{21} B \).

Если \( B=0 \), то \( A=0 \) — не подходит.

Единственный способ, чтобы \( 21A = 110B \) имело решение в цифрах, это если \( A=0, B=0 \).

Но \( A \) и \( B \) не могут быть 0.

Так как \( A \) и \( B \) — разные цифры, и \( A \) не может быть 0, \( B \) не может быть 0.

Возможно, \( BBB \) — это 3 одинаковых цифры.

\( AA + AB = BBB \)

\( 11A + 10A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

\( A/B = 110/21 \).

Нет решений в цифрах.

Давайте проверим возможные значения \( B \) от 1 до 9.

Если \( B=1 \), \( 21A = 110 \) (нет).

Если \( B=2 \), \( 21A = 220 \) (нет).

Если \( B=3 \), \( 21A = 330 \) (нет).

...

Если \( B=5 \), \( 21A = 550 \) (нет).

Если \( B=6 \), \( 21A = 660 \) (нет).

Если \( B=7 \), \( 21A = 770 \) (нет).

Если \( B=8 \), \( 21A = 880 \) (нет).

Если \( B=9 \), \( 21A = 990 \) (нет).

Значит, \( B \) должно быть 0.

Но \( B \) не может быть 0.

Если \( B=0 \), то \( AA+A0 = 000 \).

\( 11A + 10A = 0 \)

\( 21A = 0 \)

\( A=0 \). Но \( A \) не может быть 0.

Есть только один вариант: \( A=9, B=0 \)?

\( 99 + 90 = 189 \). Не 000.

Если \( B \) — это 1, то \( BBB \) — это 111.

\( AA + AB = 111 \).

\( 21A + B = 111 \).

Если \( A=3 \), \( 21 × 3 + B = 111 \).

\( 63 + B = 111 \).

\( B = 111 - 63 = 48 \). Не подходит.

Если \( A=4 \), \( 21 × 4 + B = 111 \).

\( 84 + B = 111 \).

\( B = 111 - 84 = 27 \). Не подходит.

Если \( A=5 \), \( 21 × 5 + B = 111 \).

\( 105 + B = 111 \).

\( B = 6 \).

Значит, \( A=5 \) и \( B=6 \). Но \( B \) должно быть 1.

Если \( B \) = 1, то \( BBB \) = 111.

\( AA + A1 = 111 \)

\( 11A + 10A + 1 = 111 \)

\( 21A + 1 = 111 \)

\( 21A = 110 \).

\( A = 110/21 \).

Это невозможно.

Единственный вариант, когда \( BBB \) является суммой двух двузначных чисел, — это если \( B=1 \) и \( BBB=111 \).

\( AA+AB=111 \).

\( A \) и \( B \) — различные цифры.

\( A \) не равно 0, \( B \) не равно 0.

\( 21A + B = 111 \).

Переберём возможные значения \( A \) от 1 до 9.

Если \( A = 1 \): \( 21 + B = 111 \) \( B=90 \) (не цифра).

Если \( A = 2 \): \( 42 + B = 111 \) \( B=69 \) (не цифра).

Если \( A = 3 \): \( 63 + B = 111 \) \( B=48 \) (не цифра).

Если \( A = 4 \): \( 84 + B = 111 \) \( B=27 \) (не цифра).

Если \( A = 5 \): \( 105 + B = 111 \) \( B=6 \).

Мы получили \( A=5 \) и \( B=6 \). Но \( BBB \) должно быть \( 111 \), то есть \( B=1 \).

Это значит, что \( B \) в \( AB \) и \( B \) в \( BBB \) — разные буквы. Но условие говорит, что они одинаковые.

«Каждой букве А соответствует одна и та же цифра. То же и для букв Б, В.»

Значит, \( B \) в \( AB \) и \( B \) в \( BBB \) — это одна и та же цифра.

Следовательно, \( B \) должно быть 1.

\( 21A + B = 111 \)

\( 21A + 1 = 111 \)

\( 21A = 110 \)

\( A=110/21 \)

Это не даёт целочисленного решения.

Возможно, \( A \) не 5, а \( A \) и \( B \) — цифры.

\( 21A = 110B \)

\( A \) должно быть кратно 110, \( B \) кратно 21.

НО! \( A \) и \( B \) — цифры.

Единственный способ, чтобы \( 21A = 110B \) имело решение, — это \( A=0, B=0 \).

Но \( A \) не может быть 0.

Значит, \( B \) не может быть 0.

Если \( B \) — это 1, \( BBB = 111 \).

\( AA + A1 = 111 \)

\( 21A + 1 = 111 \)

\( 21A = 110 \) (нет).

Если \( B \) — это 2, \( BBB = 222 \).

\( AA + A2 = 222 \)

\( 21A + 2 = 222 \)

\( 21A = 220 \) (нет).

Если \( B \) — это 3, \( BBB = 333 \).

\( AA + A3 = 333 \)

\( 21A + 3 = 333 \)

\( 21A = 330 \) (нет).

Если \( B \) — это 4, \( BBB = 444 \).

\( AA + A4 = 444 \)

\( 21A + 4 = 444 \)

\( 21A = 440 \) (нет).

Если \( B \) — это 5, \( BBB = 555 \).

\( AA + A5 = 555 \)

\( 21A + 5 = 555 \)

\( 21A = 550 \) (нет).

Если \( B \) — это 6, \( BBB = 666 \).

\( AA + A6 = 666 \)

\( 21A + 6 = 666 \)

\( 21A = 660 \) (нет).

Если \( B \) — это 7, \( BBB = 777 \).

\( AA + A7 = 777 \)

\( 21A + 7 = 777 \)

\( 21A = 770 \) (нет).

Если \( B \) — это 8, \( BBB = 888 \).

\( AA + A8 = 888 \)

\( 21A + 8 = 888 \)

\( 21A = 880 \) (нет).

Если \( B \) — это 9, \( BBB = 999 \).

\( AA + A9 = 999 \)

\( 21A + 9 = 999 \)

\( 21A = 990 \) (нет).

Значит, \( A \) и \( B \) — это разные цифры.

\( AA + AB = BBB \)

\( 10A+A + 10A+B = 100B+10B+B \)

\( 21A + B = 111B \)

\( 21A = 110B \)

\( A = \frac{110}{21} B \).

Нет решений для цифр \( A \) и \( B \).

Проверим условие ещё раз.

«Каждой букве А соответствует одна и та же цифра. То же и для букв Б, В.»

Это значит, что \( A \) — это цифра, \( B \) — это цифра, \( V \) — это цифра.

\( AA \) — это \( 10A + A \).

\( AB \) — это \( 10A + B \).

\( VVV \) — это \( 100V + 10V + V \).

\( 10A + A + 10A + B = 100V + 10V + V \)

\( 21A + B = 111V \)

\( A, B, V \) — различные цифры.

\( A ≠ 0, V ≠ 0 \).

Перебор:

Если \( V=1 \), \( 21A + B = 111 \).

\( A=1 \) (не подходит, \( A ≠ V \)).

\( A=2 \): \( 42 + B = 111 → B=69 \) (нет).

\( A=3 \): \( 63 + B = 111 → B=48 \) (нет).

\( A=4 \): \( 84 + B = 111 → B=27 \) (нет).

\( A=5 \): \( 105 + B = 111 → B=6 \).

Получили \( A=5, B=6, V=1 \). Проверим: \( 55 + 56 = 111 \). Это верно! \( A=5, B=6, V=1 \) — различные цифры.

Ответ: А = 5, Б = 6, В = 1.

12. Мельник взял за работу десятую долю смолотой муки. Сколько всего было смолото муки, если крестьянин получил 99 кг?

Решение:

Пусть \( X \) — общее количество смолотой муки.

Мельник взял \( \frac{1}{10} X \).

Крестьянин получил остаток: \( X - \frac{1}{10} X = \frac{9}{10} X \).

По условию, крестьянин получил 99 кг муки.

Значит, \( \frac{9}{10} X = 99 \).

Чтобы найти \( X \), умножим обе части на \( \frac{10}{9} \):

\( X = 99 × \frac{10}{9} \)

\( X = \frac{99 × 10}{9} \)

\( X = 11 × 10 \)

\( X = 110 \).

Всего было смолото 110 кг муки.

Ответ: 110 кг.

13. Сумма двух чисел 715. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится другое число. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть первое число — \( X \), а второе число — \( Y \).

По условию, \( X + Y = 715 \).

Одно из чисел оканчивается нулем. Пусть это будет \( X \).

\( X = 10 × A \), где \( A \) — некоторое число.

Если нуль зачеркнуть у \( X \), получится число \( A \).

Значит, \( Y = A \).

Подставим \( Y=A \) и \( X=10A \) в первое уравнение:

\( 10A + A = 715 \)

\( 11A = 715 \)

Чтобы найти \( A \), разделим 715 на 11:

\( A = \frac{715}{11} \)

\( 715 ÷ 11 = 65 \).

Значит, \( A = 65 \).

Теперь найдём \( X \) и \( Y \).

\( Y = A = 65 \).

\( X = 10 × A = 10 × 65 = 650 \).

Проверим: \( X + Y = 650 + 65 = 715 \).

Число 650 оканчивается нулем. Если нуль зачеркнуть, получится 65, что равно второму числу.

Ответ: 650 и 65.