Оля загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, а у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 830. Какую цифру зачеркнула Оля?

Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ - цифры от 0 до 9, и $$a
eq 0$$. Тогда загаданное число можно представить как $$1000a + 100b + 10c + d$$. По условию, Оля вычла из этого числа сумму его цифр, то есть получила: $$1000a + 100b + 10c + d - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$. Таким образом, полученная разность делится на 9. Значит, и сумма цифр полученной разности должна делиться на 9. После зачеркивания одной цифры получилось число 830. Пусть $$x$$ - зачеркнутая цифра. Тогда исходное число имело вид $$830x$$, $$83x0$$, $$8x30$$ или $$x830$$. В любом случае, сумма цифр полученного числа равна $$8 + 3 + 0 + x = 11 + x$$. Так как сумма цифр должна делиться на 9, то $$11 + x$$ должно быть кратно 9. Возможные значения для $$11 + x$$: 18, 27, 36 и т.д. 1. Если $$11 + x = 18$$, то $$x = 18 - 11 = 7$$. 2. Если $$11 + x = 27$$, то $$x = 27 - 11 = 16$$, что невозможно, так как $$x$$ - цифра. Итак, единственное возможное значение для зачеркнутой цифры $$x$$ - это 7. Следовательно, из числа 7, которая была зачеркнута, сумма цифр равна 18, то есть число после вычитания суммы цифр из исходного числа должно быть равно одному из следующих чисел: 7830, 8730, 8370, 8307. Так как полученная разность равна $$9(111a + 11b + c)$$, она делится на 9. Проверим, делится ли каждое из этих чисел на 9: 1. $$7830 / 9 = 870$$ (целое число) 2. $$8730 / 9 = 970$$ (целое число) 3. $$8370 / 9 = 930$$ (целое число) 4. $$8307 / 9 = 923$$ (целое число) Чтобы найти исходное число, нужно чтобы разность между исходным числом и суммой его цифр давала число, которое после зачеркивания цифры 7 превращается в 830. Пример: Если разность - число 8307, то искомое число 8307. Рассмотрим число 2023, сумма его цифр $$2 + 0 + 2 + 3 = 7$$. $$2023 - 7 = 2016$$. Пример: Если разность - число 8370, то искомое число 8370. Рассмотрим число 9306, сумма его цифр $$9 + 3 + 0 + 6 = 18$$. $$9306 - 18 = 9288$$. Ответ: 7