Он открыл дверь, что(бы) спуститься по лестнице.

Правильный ответ: Он открыл дверь, чтобы спуститься по лестнице.

В данном случае пишется слитно, так как это союз, обозначающий цель действия. Можно задать вопрос: "С какой целью открыл дверь?" - Чтобы спуститься.