Онлайн-кружок 2025-26 Разложение на множители 1 апреля 2026 1. Про Колю, который победил на олимпиаде стали складывать легенды среди кружковцев. Руслан сказал Мише, что Коля готовился 7 дней. Передавая новость дальше, каждая девочка увеличивала количество дней подготовки в 2 раза, а каждый мальчик в 3. В итоге до Максима дошли новости, что Коля готовился к олимпиаде 145152 дня. Через сколько мальчиков и девочек прошла новость перед тем, как дойти до Максима? 2. а) Придумайте число, произведение цифр которого равно 630. б) Найдите наименьшее число, произведение цифр которого равно 200. 3. Разделите числа 2, 4, 6, 14, 42, 10, 40, 25 на две группы, так чтобы произведения всех чисел одной группы равнялось произведению всех чисел второй группы. 4. Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В ней находится 280 кусочков сахара, каждый из которых – кубик размером 1 х 1 х 1 см. Найдите площадь поверхности коробки, если известно, что длина каждой из её сторон меньше 10 см. 5. Наташа перемножила натуральные числа а) от 17 до 25 б) от 20 до 90 На какое наименьшее натуральное число НЕ делится данное произведение? 6. У Феди несколько братьев. Известно, что старший брат в 2 раза старше младшего. Федя посчитал, что произведение возрастов его братьев равно 1664. Сколько братьев у Феди и сколько им лет?

1. Про Колю

Пусть x - количество девочек, а y - количество мальчиков, тогда: \[7 \cdot 2^x \cdot 3^y = 145152\] Разделим обе части уравнения на 7: \[2^x \cdot 3^y = 20736\] Разложим 20736 на простые множители: \[20736 = 2^{12} \cdot 3^4\] Получаем: \[2^x \cdot 3^y = 2^{12} \cdot 3^4\] Следовательно: \[x = 12, y = 4\] То есть, новость прошла через 12 девочек и 4 мальчиков.

Ответ: 12 девочек и 4 мальчика.

2. Произведение цифр

а) Придумайте число, произведение цифр которого равно 630.

Разложим число 630 на простые множители: \[630 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\] Нам нужно представить 630 в виде произведения цифр от 0 до 9. Заметим, что 630 = 9 * 7 * 5 * 2 * 1. Тогда искомое число может быть, например, 2579.

Пример числа: 2579

б) Найдите наименьшее число, произведение цифр которого равно 200.

Разложим число 200 на простые множители: \[200 = 2^3 \cdot 5^2\] Чтобы получить наименьшее число, цифры должны быть как можно больше и их количество как можно меньше. Заметим, что 200 = 8 * 5 * 5. Тогда искомое число может быть, например, 558.

Пример числа: 558

3. Разделение чисел на группы

Разделите числа 2, 4, 6, 14, 42, 10, 40, 25 на две группы, так, чтобы произведения всех чисел одной группы равнялось произведению всех чисел второй группы.

Найдем произведение всех чисел: \[P = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 14 \cdot 42 \cdot 10 \cdot 40 \cdot 25 = 2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5^2 = 2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^2\] Чтобы разделить числа на две группы с равными произведениями, нужно чтобы произведение каждой группы равнялось квадратному корню из P: \[\sqrt{P} = \sqrt{2^{10} \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7^2} = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 16800\] Теперь нужно разделить заданный набор чисел на две группы так, чтобы произведение чисел в каждой группе равнялось 16800. Возможный вариант:
Группа 1: 2, 6, 14, 10, 25 (2 * 6 * 14 * 10 * 25 = 16800)
Группа 2: 4, 42, 40 (4 * 42 * 100 = 16800)

Группа 1: 2, 6, 14, 10, 25
Группа 2: 4, 42, 40

4. Коробка с сахаром

Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В ней находится 280 кусочков сахара, каждый из которых – кубик размером 1 х 1 х 1 см. Найдите площадь поверхности коробки, если известно, что длина каждой из её сторон меньше 10 см.

Объем коробки равен 280 см³. Нужно найти такие размеры a, b, c, чтобы a * b * c = 280 и a, b, c < 10.
Разложим 280 на простые множители: 280 = 2³ * 5 * 7.
Подходящие размеры: a = 5, b = 7, c = 8. Тогда площадь поверхности коробки равна: \[S = 2(ab + bc + ac) = 2(5 \cdot 7 + 7 \cdot 8 + 5 \cdot 8) = 2(35 + 56 + 40) = 2(131) = 262\]

Ответ: 262 см²

5. Наташа перемножила числа

а) от 17 до 25
б) от 20 до 90
На какое наименьшее натуральное число НЕ делится данное произведение?

а) от 17 до 25: 17 * 18 * 19 * 20 * 21 * 22 * 23 * 24 * 25
Произведение делится на все числа от 1 до 25, кроме 23, так как оно простое и встречается только один раз в разложении произведения на простые множители.

б) от 20 до 90: 20 * 21 * ... * 89 * 90
Произведение делится на все числа от 1 до 90, кроме простых чисел, которые встречаются только один раз в разложении произведения на простые множители. Наименьшее такое число - 97. Число 97 является простым и больше 90, следовательно, оно не делит произведение чисел от 20 до 90.

Ответ (а): 23
Ответ (б): 97

6. У Феди несколько братьев

У Феди несколько братьев. Известно, что старший брат в 2 раза старше младшего. Федя посчитал, что произведение возрастов его братьев равно 1664. Сколько братьев у Феди и сколько им лет?

Пусть x - возраст младшего брата, тогда возраст старшего брата - 2x. Произведение возрастов всех братьев равно 1664. Предположим, что у Феди всего два брата.
Тогда x * 2x = 1664. 2x² = 1664. x² = 832. x = √832 ≈ 28.84. Возраст не может быть не целым числом, значит, у Феди больше двух братьев.
Предположим, что у Феди три брата. Тогда x * 2x * y = 1664, где y - возраст среднего брата. 2x² * y = 1664. x² * y = 832.
Разложим 832 на простые множители: 832 = 2⁶ * 13. Тогда x² * y = 2⁶ * 13. Допустим, x = 2³ = 8. Тогда y = 13.
В этом случае возраст братьев: 8, 13, 16. Феде 13 лет, а его братьям 8 и 16 лет.

Ответ: У Феди два брата, им 8 и 16 лет.