ОО, - ось цилиндра. Найти объем и площадь боковой поверхности цилиндра.

1

Дано: высота цилиндра O₁O = 8, ∠AOC = 60°.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Так как ∠AOC = 60°, то длина дуги AC равна 1/6 длины окружности основания. Радиус основания OА = R.

Рассмотрим треугольник AOC: он равнобедренный (OA = OC = R) и ∠AOC = 60°, следовательно, треугольник AOC равносторонний, и AC = R.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = 8.

Объем цилиндра V = πR²h = πR² ⋅ 8 = 8πR².

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πR ⋅ 8 = 16πR.

Ответ: V = 8πR², S = 16πR.

2

Дано: ∠AO₁B = 90°, ∠COE = 60°, ∠OBD = 30°.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания OА = R.

∠COE = 60°, следовательно, CE = R/2.

∠OBD = 30°, следовательно, OD = R√3/2.

Так как ∠AO₁B = 90°, то AB = R√2.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = R√2.

Объем цилиндра V = πR²h = πR² ⋅ R√2 = πR³√2.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πR ⋅ R√2 = 2πR²√2.

Ответ: V = πR³√2, S = 2πR²√2.

3

Дано: OE = 6, CD = 16, ∠AOE = 30°.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания OА = R.

∠AOE = 30°, следовательно, AE = R/2.

CD = 16, следовательно, OC = 8.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = AE = R/2.

Объем цилиндра V = πR²h = πR² ⋅ R/2 = πR³/2.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πR ⋅ R/2 = πR².

Ответ: V = πR³/2, S = πR².

4

Дано: ∠DOC = α, ∠EOB = β, O₁E = l.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания OА = R.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = l.

Объем цилиндра V = πR²h = πR² ⋅ l = πR²l.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πR ⋅ l = 2πRl.

Ответ: V = πR²l, S = 2πRl.

5

Дано: S(CC₁D₁D) = Q, ∠COC₁ = α.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания OА = R.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = √Q.

Объем цилиндра V = πR²h = πR² ⋅ √Q = πR²√Q.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πR ⋅ √Q = 2πR√Q.

Ответ: V = πR²√Q, S = 2πR√Q.

6

Дано: AC = 2a.

1. Найдем радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания OА = R.

AC = 2a, следовательно, R = a.

2. Найдем объем цилиндра.

Высота цилиндра O₁O = h = a.

Объем цилиндра V = πR²h = πa² ⋅ a = πa³.

3. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра S = 2πRh = 2πa ⋅ a = 2πa².

Ответ: V = πa³, S = 2πa².