Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: 123x5₁₅ + 1x233₁₅. В записи чисел переменная x обозначает неизвестную цифру из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления.

В 15-ричной системе цифра \(x\) имеет значение от 0 до 14.

Переведём выражение в десятичный вид по разрядам:

\[123x5_{15}=1\cdot15^4+2\cdot15^3+3\cdot15^2+x\cdot15+5,\]

\[1x233_{15}=1\cdot15^4+x\cdot15^3+2\cdot15^2+3\cdot15+3.\]

Сумма равна:

\[2\cdot15^4+(x+2)\cdot15^3+5\cdot15^2+(x+3)\cdot15+8.\]

Так как \(15\equiv1\pmod {14}\), значение выражения по модулю 14 равно сумме его цифр:

\[1+2+3+x+5+1+x+2+3+3=20+2x.\]

Требуется \(20+2x\equiv0\pmod {14}\), то есть \(2x+6\equiv0\pmod {14}\). Следовательно, \(x+3\equiv0\pmod 7\), поэтому \(x\equiv4\pmod7\). Наименьшее допустимое значение: \(x=4\).

Подставим \(x=4\):

\[12345_{15}+14233_{15}=2\cdot15^4+6\cdot15^3+5\cdot15^2+7\cdot15+8=1\,093\,?\]

Точное вычисление: \(12345_{15}=62\,?\) и \(14233_{15}=\,?\). Удобнее сложить в 15-ричной системе:

\[12345_{15}+14233_{15}=27083_{15}.\]

Переведём результат в десятичную систему:

\[27083_{15}=2\cdot15^4+7\cdot15^3+0\cdot15^2+8\cdot15+3=101250+23625+120+3=124998.\]

\[124998:14=8928.428\ldots\]

Проверка сложения по разрядам показывает, что перенос в разряде единиц: \(5+3=8\), десятков: \(4+3=7\), сотен: \(3+2=5\), тысяч: \(2+4=6\), разрядов \(15^4\): \(1+1=2\), поэтому сумма действительно \(26578_{15}\).

\[26578_{15}=2\cdot15^4+6\cdot15^3+5\cdot15^2+7\cdot15+8=101250+20250+1125+105+8=122738.\]

\[122738:14=8767.\]

Ответ: 8767.