Свойства функций

• I. $$y = (x - 3)^2$$

  Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

  • Вершина параболы: $$(3; 0)$$
  • Ось симметрии: $$x = 3$$
  • Ветви параболы: направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.
  • Область определения: Все действительные числа ($$x in (-\infty; +\infty)$$).
  • Область значений: $$y ge 0$$ ($$y in [0; +\infty)$$).
  • Возрастание: Функция возрастает при $$x > 3$$.
  • Убывание: Функция убывает при $$x < 3$$.

• II. $$y = (x + 5)^2$$

  Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

  • Вершина параболы: $$(-5; 0)$$
  • Ось симметрии: $$x = -5$$
  • Ветви параболы: направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.
  • Область определения: Все действительные числа ($$x in (-\infty; +\infty)$$).
  • Область значений: $$y ge 0$$ ($$y in [0; +\infty)$$).
  • Возрастание: Функция возрастает при $$x > -5$$.
  • Убывание: Функция убывает при $$x < -5$$.

• III. $$y = x^2 + 5$$

  Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

  • Вершина параболы: $$(0; 5)$$
  • Ось симметрии: $$x = 0$$ (ось Y)
  • Ветви параболы: направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.
  • Область определения: Все действительные числа ($$x in (-\infty; +\infty)$$).
  • Область значений: $$y ge 5$$ ($$y in [5; +\infty)$$).
  • Возрастание: Функция возрастает при $$x > 0$$.
  • Убывание: Функция убывает при $$x < 0$$.

• IV. $$y = x^2 - 4x + 7$$

  Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

  Чтобы найти вершину параболы, используем формулу $$x_v = -\frac{b}{2a}$$, где $$a = 1$$ и $$b = -4$$:

  $$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$$

  Теперь найдем значение $$y$$ в вершине:

  $$y_v = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$$
  • Вершина параболы: $$(2; 3)$$
  • Ось симметрии: $$x = 2$$
  • Ветви параболы: направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ положительный.
  • Область определения: Все действительные числа ($$x in (-\infty; +\infty)$$).
  • Область значений: $$y ge 3$$ ($$y in [3; +\infty)$$).
  • Возрастание: Функция возрастает при $$x > 2$$.
  • Убывание: Функция убывает при $$x < 2$$.