Опорная задача (о параллелограмме, вписанном в окружность) Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником. Центром окружности является точка пересечения его диагоналей. 1. Доказательство. 2. Следствие. Точка пересечения диагоналей прямоугольника — единственная точка, равноудаленная от его вершин.

Эта задача касается свойств геометрических фигур, а именно параллелограммов и прямоугольников, вписанных в окружность. Давай разберем ее по пунктам:

Опорная задача:

Условие гласит: "Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником". Это ключевое утверждение.

1. Доказательство:

Чтобы доказать это, мы должны показать две вещи:

1. Если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то он — прямоугольник.
   Пусть ABCD — параллелограмм, вписанный в окружность. У параллелограмма сумма противоположных углов равна 180 градусам (это свойство четырехугольника, вписанного в окружность). В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если ∠A + ∠C = 180° и ∠A = ∠C, то 2∠A = 180°, следовательно, ∠A = 90°. Аналогично ∠C = 90°, ∠B = 90°, ∠D = 90°. Таким образом, ABCD — прямоугольник.
2. Если параллелограмм — прямоугольник, то вокруг него можно описать окружность.
   У прямоугольника все углы прямые (90°). Сумма противоположных углов равна 180° (90° + 90° = 180°). Это условие достаточно для того, чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Эта точка является центром описанной окружности, так как расстояния от нее до всех вершин равны половине диагонали.

Центр окружности:

Как сказано в условии, центром окружности является точка пересечения диагоналей.

2. Следствие:

"Точка пересечения диагоналей прямоугольника — единственная точка, равноудаленная от его вершин."

Это прямо следует из доказательства пункта 1. В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AO = OC = BO = OD. Это означает, что точка O равноудалена от вершин A, B, C и D. Эта точка и является центром описанной окружности.

Краткий вывод:

Параллелограмм можно вписать в окружность только если он является прямоугольником. Центр этой окружности — точка пересечения диагоналей прямоугольника.