Определенный интеграл ∫₀² 1/√(x+1) dx равен ...

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx \) сначала найдем первообразную.

Пусть \( u = x+1 \), тогда \( du = dx \). При \( x=0 \), \( u=1 \). При \( x=2 \), \( u=3 \).

Интеграл принимает вид:

\[ \int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{u}} du = \int_{1}^{3} u^{-\frac{1}{2}} du \]

Теперь найдем первообразную:

\[ \left[ \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right]_{1}^{3} = \left[ \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{3} = \left[ 2\sqrt{u} \right]_{1}^{3} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{1} = 2\sqrt{3} - 2 \]

Ответ: 2√3-2