Определенный интеграл \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx \) равен ...

Решение:

1. Для вычисления определенного интеграла \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx \) сначала найдем первообразную функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} \).
2. Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-\frac{1}{2}} \).
3. Первообразная \( F(x) \) находится по формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).
4. В нашем случае \( n = -\frac{1}{2} \), а \( x \) заменено на \( (x+1) \).
5. \( \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x+1} + C \).
6. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
7. \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = [2\sqrt{x+1}]_{0}^{1} \).
8. Подставим верхний предел интегрирования: \( F(1) = 2\sqrt{1+1} = 2\sqrt{2} \).
9. Подставим нижний предел интегрирования: \( F(0) = 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{1} = 2 \).
10. Вычислим разность: \( F(1) - F(0) = 2\sqrt{2} - 2 \).

Ответ: \( 2\sqrt{2} - 2 \).